Question

11．一枚小火箭攜帶試驗炸彈豎直發射升空，小火箭的加速度a=$\frac{10}{3}$m/s²，經t₁=30s后小火箭與試驗炸彈分離，預定試驗炸彈在最高點爆炸，取g=10m/s²，不計空氣阻力，求：
（1）試驗炸彈預定爆炸點的高度是多少？
（2）若試驗失敗，炸彈未爆炸，如果不采取措施，炸彈會在分離后多長時間落地？
（3）若在第（2）問中，在炸彈到達最高點10s后，以v₀=400m/s豎直發射一枚攔截炮彈進行攔截，攔截點高度是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意得到：小火箭在0-30s內勻加速上升；此后豎直上拋運動；根據運動學公式求解；
（2）炸彈在分離后做豎直上拋運動，根據運動學公式求解炸彈會在分離后到落地的時間；
（3）若以V₀=400m/s豎直發射一枚炮彈攔截，炸彈與炮彈在豎直方向位移的和等于炸彈上升的高度，根據豎直上拋運動與自由落體運動的規律寫出公式，即可求解．

解答 解：（1）小火箭與試驗炸彈分離時的速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=\frac{10}{3}×30=100m/s$
t₁時間內，炸彈上升的高度${h}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{100}{2}×30=1500m$
設分離后，炸彈上升的高度為h₂，則${v}_{1}^{2}=2g{h}_{2}^{\;}$
代入數據：$10{0}_{\;}^{2}=20{h}_{2}^{\;}$
解得 h₂=500m    
試驗炸彈預定爆炸點的高度h=h₁+h₂=1500+500=2000m   
（2）設炸彈在分離后經時間t₂落地，則$-{h}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
代入數據：$-1500=100{t}_{2}^{\;}-5{t}_{2}^{2}$
解得t₂=30s    
（3）設攔截炮彈從發射到攔截住炸彈所用時間為t₃，則
$\frac{1}{2}g（{t}_{3}^{\;}+10）_{\;}^{2}+{v}_{0}^{\;}{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}=h$
代入數據：5$（{t}_{3}^{\;}+10）_{\;}^{2}+400{t}_{3}^{\;}-5{t}_{3}^{2}=2000$
解得t₃=3s    
攔截點高度${h}_{3}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}=400×3-\frac{1}{2}×10×{3}_{\;}^{2}$=1155m
答：（1）試驗炸彈預定爆炸點的高度是2000m
（2）若試驗失敗，炸彈未爆炸，如果不采取措施，炸彈會在分離后30s時間落地
（3）若在第（2）問中，在炸彈到達最高點10s后，以v₀=400m/s豎直發射一枚攔截炮彈進行攔截，攔截點高度是1155m

點評 本題關鍵是明確火箭的運動規律，然后選擇恰當的運動學規律列式求解，不難．要注意炸彈與炮彈在豎直方向位移的和等于炸彈上升的高度．