Question

質(zhì)量為M的滑塊由水平軌道和豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓弧軌道組成，放在光滑的水平面上．質(zhì)量為m的物塊從圓弧軌道的最高點由靜止開始滑下，以速度v從滑塊的水平軌道的左端滑出，如圖所示．已知M：m=3：1，物塊與水平軌道之間的動摩擦因數(shù)為?，圓弧軌道的半徑為R．
（1）求物塊從軌道左端滑出時，滑塊M的速度的大小和方向；
（2）求水平軌道的長度；
（3）若滑塊靜止在水平面上，物塊從左端沖上滑塊，要使物塊m不會越過滑塊，求物塊沖上滑塊的初速度應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）地面光滑，滑塊與軌道組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒，根據(jù)動量守恒可正確解答．
（2）摩擦力乘以相對位移即水平軌道的長度為系統(tǒng)因克服摩擦而產(chǎn)生的熱量，對整個系統(tǒng)根據(jù)功能關(guān)系可正確解答．
（3）物塊以速度v₀沖上軌道，初速度越大，沖上圓弧軌道的高度越大，若物塊剛能達(dá)到最高點，兩者有相同的速度V₁，此為物塊不會越過滑塊的最大初速度，然后根據(jù)動量守恒和功能關(guān)系可正確解答．

解答：解：（1）對于滑塊M和物塊m組成的系統(tǒng)，物塊沿軌道滑下的過程中水平方向動量守恒，物塊滑出時有：
  mv=MV
滑塊M的速度：V=

m

M

v=

1

3

v，方向向右．
故物塊從軌道左端滑出時，滑塊M的速度的大小為

1

3

v，方向水平向右．
（2）物塊滑下的過程中，物塊的重力勢能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動能和內(nèi)能，有：

1

2

mv2+

1

2

MV2+μmgL=mgR
解得：L=

3gR-2v2

3μg

故水平軌道的長度為：L=

3gR-2v2

3μg

．
（3）物塊以速度v₀沖上軌道，初速度越大，沖上圓弧軌道的高度越大．
若物塊剛能達(dá)到最高點，兩者有相同的速度V₁，此為物塊不會越過滑塊的最大初速度．
對于M和m組成的系統(tǒng)，水平方向動量守恒，有：
  mv₀=（m+M）V₁
相互作用過程中，系統(tǒng)的總動能減小，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能和重力勢能，有：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(M+m)V12=μmgL+mgR
解得：v0=

4

3

3gR-v2

要使物塊m不會越過滑塊，
其初速度：v0≤

4

3

3gR-v2

．
故若滑塊靜止在水平面上，物塊從左端沖上滑塊，要使物塊m不會越過滑塊，求物塊沖上滑塊的初速度應(yīng)滿足的條件為：v0≤

4

3

3gR-v2

．

點評：本題考查了動量與能量轉(zhuǎn)化與守恒的綜合，解答這類問題時注意選擇正確初末狀態(tài)，弄清功能關(guān)系，以及動量守恒和功能關(guān)系求解．