Question

質量為M的滑塊由水平軌道和豎直平面內的四分之一光滑圓弧軌道組成，放在光滑的水平面上。質量為m的物塊從圓弧軌道的最高點由靜止開始滑下，以速度v從滑塊的水平軌道的左端滑出，如圖所示。已知M:m=3:1，物塊與水平軌道之間的動摩擦因數為µ，圓弧軌道的半徑為R。

（1）求物塊從軌道左端滑出時，滑塊M的速度的大小和方向；

（2）求水平軌道的長度；

（3）若滑塊靜止在水平面上，物塊從左端沖上滑塊，要使物塊m不會越過滑塊，求物塊沖上滑塊的初速度應滿足的條件。

Answer 1

解：（1）（5分）對于滑塊M和物塊m組成的系統，物塊沿軌道滑下的過程中，水平方向動量守恒，物塊滑出時，有          （3分）

滑塊M的速度（1分），方向向右。（1分）

（2）（5分）物塊滑下的過程中，物塊的重力勢能，轉化為系統的動能和內能，有

（3分）

解得              （2分）

（3）（8分）物塊以速度v₀沖上軌道，初速度越大，沖上圓弧軌道的高度越大。若物塊剛能達到最高點，兩者有相同的速度V₁，此為物塊不會越過滑塊的最大初速度。對于M和m組成的系統，水平方向動量守恒，有  （3分）

相互作用過程中，系統的總動能減小，轉化為內能和重力勢能，有

（3分）

解得（1分）

要使物塊m不會越過滑塊，其初速度    （1分）