Question

如圖所示，一個半徑為R的光滑圓弧軌道APB豎直固定放置，PQ為其豎直對稱軸，∠AOQ與∠BOQ都等于θ．現讓一可看做質點的小球在軌道內側運動，當其沖出A點后恰好可以從B點再進入軌道，所以此運動可以周而復始進行．已知小球質量為m，重力加速度為g，試求：
（1）小球離開軌道后的最高點距直線AB的距離；
（2）若要小球在最低點時對軌道的壓力最小，θ應為多少？對應的最小壓力為多少？

Answer 1

分析：（1）將速度進行分解，在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做豎直上拋運動，根據運動學規律，結合幾何關系求出小球離開軌道后上升到最高點距直線AB的距離．
（2）根據動能定理和牛頓第二定律求出物體在最低點所受的支持力的大小，根據數學求極值的方法求出最小值．

解答：解：（1）物體剛沖出A點時，將物體的速度分解有：
v₁=vcosθ… ①
v₂=vsinθ…②
在拋出到最高點過程中，水平方向上為勻速直線運動，有：Rsinθ=v₁t…③
豎直方向上為勻變速直線運動，末速度為零，逆過來看是自由落體運動．有
v₂=gt…④
h=

1

2

gt2…⑤
由①②③④解得v=

gR cosθ

… ⑥
t=sinθ

R gcosθ

…  ⑦
由⑤得，h=

Rsin2θ

2cosθ

… ⑧
（2）設物體在最低點的速度為v′，則物體從A到運動到最低點的過程中，由動能定理得，
mgR(1-cosθ)=

1

2

m(v′2-v2)…  ⑨
在最低點由向心力公式得，
N-mg=m

v′2

R

… ⑩
由⑥⑨⑩得，N=mg（3+2cosθ+

1

cosθ

）
分析知當θ=45°時，N最小，為N=(3+2

2

)mg．
答：（1）小球離開軌道后的最高點距直線AB的距離為

Rsin2θ

2cosθ

．
（2）當θ=45°時，壓力最小，為N=(3+2

2

)mg．

點評：本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律等知識，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強該類題型的訓練．