Question

（2005?浦東新區一模）如圖所示，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的．一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°．
（1）求小球A與小球B的質量比m_A：m_B；
（2）現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球總的重力勢能改變量；
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，求B球的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）先對m_B球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再對m_A球受力分析，根據共點力平衡條件列式求解．
（2）（3）A球在碗底時，v_A不等于v_B，應將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大小．再根據機械能守恒定律列式解決．

解答：解：（1）設繩的張力為T．對A球進行受力分析，有
Nsin60°+Tsin60°=m_Ag
Ncos60°=Tcos60°
對B球進行受力分析，有T=m_Bg
可解得：mA：mB=

3

：1
（2）A球的重力勢能改變量為△E_pA=-m_AgR=-2mgR
B兩球的重力勢能改變量為△EpB=mBg?

2

R=

2

mgR
所以A、B兩球總的重力勢能改變量為△Ep=△EpA+△EpB=-(2-

2

)mgR
負號表示兩球的重力勢能減少．
（3）當A球滑到碗底時，設A、B兩球的速度分別為v_A、v_B，則v_Acos45°=v_B（1）
根據A、B兩球總機械能守恒，有△E_K+△E_p=0（2）
即

1

2

mAvA2+

1

2

mBvB2-(2-

2

)mgR=0（3）
聯立以上三式，解得：vB=

2(2- 2 ) 5 gR

（或

0.23gR

或0.48

gR

）
答：（1）小球A與小球B的質量比mA：mB=

3

：1；
（2）現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，兩球總的重力勢能減小量是(2-

2

)mgR；
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，B球的速度大小是

2(2- 2 ) 5 gR

．

點評：本題是簡單的連接體問題，先分析受力最簡單的物體，再分析受力較復雜的另一個物體，同時要運用正交分解法處理較為方便．
注意連接體中兩個物體的速度大小不一定相等．要應用速度的分解求出兩個小球的速率關系．