Question

如圖所示，是磁流體動力發電機的工作原理圖． 一個水平放置的上下、前后封閉的矩形塑料管，其寬度為a，高度為b，其內充滿電阻率為ρ的水銀，由渦輪機產生的壓強差p使得這個流體具有恒定的流速v．管道的前后兩個側面上各有長為L的由銅組成的面，實際流體的運動非常復雜，為簡化起見作如下假設：
a．盡管流體有粘滯性，但整個橫截面上的速度均勻；
b．流體的速度總是與作用在其上的合外力成正比；
c．導體的電阻：R=ρl/S，其中ρ、l和S分別為導體的電阻率、長度和橫截面積；
d．流體不可壓縮．
若由銅組成的前后兩個側面外部短路，一個豎直向上的勻強磁場只加在這兩個銅面之間的區域，磁感強度為B（如圖）．
（1）寫出加磁場后，兩個銅面之間區域的電阻R的表達式
（2）加磁場后，假設新的穩定速度為v，寫出流體所受的磁場力F與v關系式，指出F的方向
（3）寫出加磁場后流體新的穩定速度v的表達式（用v、p、L、B、ρ表示）；
（4）為使速度增加到原來的值v，渦輪機的功率必須增加，寫出功率增加量的表達式（用v、a、b、L、B和ρ表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據電阻定律求出兩個銅面之間區域的電阻R的表達式．
（2）結合安培力的大小公式，以及求出磁場力F與v關系式．根據左手定則得出磁場力的方向．
（3）不加磁場時，壓力差等于kv，施加磁場時，壓力差與安培力的合力等于kv，根據這兩個關系求出新的穩定速度v的表達式．
（4）功率的增加量等于壓力差功率的增加量，根據壓力差的變化求出功率增加量的表達式．
解答：解：（1）根據電阻定律得，R=，
（2）∵F_A=BIa，
．
再利用（1）的結論，可推得
∴．
力F_A的方向與流速v的方向反向．
（3）不加磁場時：pab=kv．
加磁場時：pab-F_A=kv．
由上面二式，得．
再利用（2）的結論，可推得
．
（4）∵△P=P₂-P₁，P₁=pabv，P₂=p′abv，
∴△P=（p′ab-pab）v．
∵p′ab-F_A′=kv，pab=kv，
∴△P=F_A′v．
∵．
∴．
答：（1）兩個銅面之間區域的電阻R的表達式R=．
（2）流體所受的磁場力F與v關系式，力F_A的方向與流速v的方向反向．
（3）加磁場后流體新的穩定速度v的表達式．
（4）功率增加量的表達式．
點評：解決本題的關鍵掌握電阻定律、安培力大小和方向的判斷，難點在于通過平衡求出流體新的穩定速度v的表達式．