Question

如圖所示，是磁流體動力發電機的工作原理圖． 一個水平放置的上下、前后封閉的矩形塑料管，其寬度為a，高度為b，其內充滿電阻率為ρ的水銀，由渦輪機產生的壓強差p使得這個流體具有恒定的流速v₀．管道的前后兩個側面上各有長為L的由銅組成的面，實際流體的運動非常復雜，為簡化起見作如下假設：
a．盡管流體有粘滯性，但整個橫截面上的速度均勻；
b．流體的速度總是與作用在其上的合外力成正比；
c．導體的電阻：R=ρl/S，其中ρ、l和S分別為導體的電阻率、長度和橫截面積；
d．流體不可壓縮．
若由銅組成的前后兩個側面外部短路，一個豎直向上的勻強磁場只加在這兩個銅面之間的區域，磁感強度為B（如圖）．
（1）寫出加磁場后，兩個銅面之間區域的電阻R的表達式
（2）加磁場后，假設新的穩定速度為v，寫出流體所受的磁場力F與v關系式，指出F的方向
（3）寫出加磁場后流體新的穩定速度v的表達式（用v₀、p、L、B、ρ表示）；
（4）為使速度增加到原來的值v₀，渦輪機的功率必須增加，寫出功率增加量的表達式（用v₀、a、b、L、B和ρ表示）．

Answer 1

（1）根據電阻定律得，R=ρ

a

bL

，
（2）∵F_A=BIa，
I=

Bav

R

．
再利用（1）的結論，可推得
∴FA=

1

ρ

abLvB2．
力F_A的方向與流速v的方向反向．
（3）不加磁場時：pab=kv₀．
加磁場時：pab-F_A=kv．
由上面二式，得FA=pab-

pab

v0

v．
再利用（2）的結論，可推得
v=

pρv0

pρ+Lv0B2

．
（4）∵△P=P₂-P₁，P₁=pabv₀，P₂=p′abv₀，
∴△P=（p′ab-pab）v₀．
∵p′ab-F_A′=kv₀，pab=kv₀，
∴△P=F_A′v₀．
∵FA′=

1

ρ

abLv0B2．
∴△P=

1

ρ

abLv02B2．
答：（1）兩個銅面之間區域的電阻R的表達式R=ρ

a

bL

．
（2）流體所受的磁場力F與v關系式FA=

1

ρ

abLvB2，力F_A的方向與流速v的方向反向．
（3）加磁場后流體新的穩定速度v的表達式v=

pρv0

pρ+Lv0B2

．
（4）功率增加量的表達式△P=

1

ρ

abLv02B2．