Question

1．某游樂場水上滑梯的簡化模型如圖所示：傾角θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接，起點A距水面的高度H=7m，BC長d=2m，端點C距水面的高度h=1m．質量m=50kg的運動員從滑道起點A點無初速地自由滑下，運動員與AB、BC間的動摩擦因數均為μ=0.1．已知cos37°=0.8，sin37°=0.6，運動員在運動過程中可視為質點，g取10m/s²．求：
（1）運動員從A滑到C的過程中，在AB段和BC段克服摩擦力所做的功分別為多大；
（2）運動員到達C點時的速度大小v；
（3）保持水平滑道左端點在同一豎直線上，調節水平滑道高度h和長度d到圖中B′C′位置時，若要運動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時滑道B′C′距水面的高度h′．

Answer 1

分析 （1）摩擦力是恒力，直接根據功的公式求出A到C過程中克服摩擦力做功的大�。�
（2）對整個過程運用動能定理列式求解運動員到達C點時的速度v；
（3）先根據動能定理和平拋運動的規律列式后聯立得到射程的表達式，然后再求解最大值．

解答 解：（1）運動員從A滑到C的過程中，在AB段和BC段克服摩擦力所做的功分別為：
W_AB=μmgcosθ（$\frac{H-h}{sinθ}$）=400J
W_BC=μmgcosθd=100J
（2）運動員從A滑到C的過程中，根據動能定理有：根據動能定理得：
mg（H-h）-W=$\frac{1}{2}$mv²-0
解得運動員滑到C點時速度的大小為：v=10 m/s                    
（3）在從C′點滑出至落到水面的過程中，運動員做平拋運動的時間為t，則有：
h′=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=$\sqrt{\frac{2h′}{g}}$
下滑過程中克服摩擦做功保持不變，為：W=500J                      
根據動能定理得：mg（H-h′）-W=$\frac{1}{2}$mv²-0
可得：v=$\sqrt{2g（2H-1-h′）}$
運動員在水平方向的位移為：x=vt=$\sqrt{2g（2H-1-h′）}$•$\sqrt{\frac{2h′}{g}}$=2$\sqrt{（H-1-h′）h′}$
根據數學知識知，當h′=H-1-h′，即 h′=$\frac{H-1}{2}$=3m時，水平位移最大
答：（1）在AB段和BC段克服摩擦力所做的功分別為400J，100J．
（2）運動員到達C點時的速度大小為10 m/s．   
（3）若要運動員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，此時滑道B′C′距水面的高度h′為3m．

點評 本題關鍵是分析清楚物體的運動規律，然后運用動能定理和平拋運動的規律列式求解．對于極值問題，往往根據物理規律得到解析式，再由數學知識求解．