Question

物體在萬有引力場中具有的勢能叫做引力勢能．取兩物體相距無窮遠時的引力勢能為零，一個質量為m₀的質點距離質量為M₀的引力源中心為r₀時．其引力勢能E_p=-

GM0m0

r0

（式中G為引力常數）．現有一顆質量為m的人造地球衛星以圓形軌道環繞地球飛行，由于受高空稀薄空氣的阻力作用，衛星的圓軌道半徑從r₁緩慢減小到r₂．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，求此過程中衛星克服空氣阻力做功W_f．（用m、R、g、表示）

Answer 1

分析：根據萬有引力提供向心力求出衛星在半徑為r₁圓形軌道運動的速度，從而知道動能，通過引力勢能公式求出在軌道r₁上的機械能，同理可以求出衛星在軌道r₂上的機械能，衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個過程中客服空氣阻力做功W_f等于衛星機械能的減少．

解答：解：衛星在圓軌道半徑從r₁上時，根據萬有引力提供向心力：G

Mm

r12

=m

v12

r1

得v1=

GM r1

所以Ek1=

1

2

mv12=

GMm

2r1

．
衛星的總機械能：E1=Ek1+Ep1=Ek1=

GMm

2r1

-

GMm

r1

=-

GMm

2r1

同理：衛星的圓軌道半徑從r₂上時，Ek2=

GMm

2r21

衛星的總機械能：E2=-

GMm

2r2

衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個過程中客服空氣阻力做功為W_f，等于衛星機械能的減少：Wf=E1-E2=(-

GMm

2r1

)-(-

GMm

2r2

)=

GMm

2

(

1

r2

-

1

r1

)．
答：此過程中衛星克服空氣阻力做功W_f為

GMm

2

(

1

r2

-

1

r1

)．

點評：解決本題的關鍵得出衛星動能和勢能的和即機械能的變化量，從而客服空氣阻力做功為W_f等于衛星機械能的減少這個功能關系計算即可．