Question

物體在萬有引力場中具有的勢能叫做引力勢能．取兩物體相距無窮遠時的引力勢能為零，一個質量為m₀的質點距離質量為M₀的引力源中心為r₀時．其引力勢能Ep=-

GM0m0

r0

（式中G為引力常數），一顆質量為m的人造地球衛星以圓形軌道環繞地球飛行，已知地球的質量為M，由于受高空稀薄空氣的阻力作用．衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．若在這個過程中空氣阻力做功為W_f，則在下面給出的W_f的四個表達式中正確的是（　　）

• A．Wf=-GMm(

  1

  r1

  -

  1

  r2

  )
• B．Wf=-

  GMm

  2

  (

  1

  r2

  -

  1

  r1

  )
• C．Wf=-

  GMm

  3

  (

  1

  r1

  -

  1

  r2

  )
• D．Wf=-

  GMm

  3

  (

  1

  r2

  -

  1

  r1

  )

Answer 1

分析：求出衛星在半徑為r₁圓形軌道和半徑為r₂的圓形軌道上的動能，從而得知動能的減小量，通過引力勢能公式求出勢能的增加量，根據能量守恒求出發動機所消耗的最小能量．

解答：解：衛星在圓軌道半徑從r₁上時，根據萬有引力提供向心力：

GMm

r 2 1

=

m v 2 1

r1

解得Ek1=

1

2

m

v

2 1

=

GMm

2r1

．
衛星的總機械能：E1=Ek1+EP1=

GMm

2r1

-

GMm

r1

=-

GMm

2r1

同理：衛星的圓軌道半徑從r₂上時，Ek2=

GMm

2r2

衛星的總機械能：E2=-

GMm

2r2

衛星的圓軌道半徑從r₁逐漸減小到r₂．在這個過程中空氣阻力做功為W_f，等于衛星機械能的減少：Wf=△E=E2-E1=-

GMm

2

(

1

r2

-

1

r1

)．所以選項B正確．
故選：B．

點評：解決本題的關鍵得出衛星動能和勢能的和即機械能的變化量，從而根據能量守恒進行求解．