Question

（2009?寧波模擬）如圖，阻值不計的光滑金屬導軌MN和PQ 水平放置，其最右端間距d為1m，左端MP接有阻值r為4Ω的電阻，右端NQ與半徑R為2m的光滑豎直半圓形絕緣導軌平滑連接；一根阻值不計的長為 L=l.2m，質量 m=0.5kg 的金屬桿 ab 放在導軌的 EF 處，EF 與MP平行．在平面NQDC的左側空間中存在豎直向下的勻強磁場 B，平面NQDC的右側空間中無磁場．現桿 ab 以初速度V₀=12m/s 向右在水平軌道上做勻減速運動，進入半圓形導軌后恰能通過最高位置 CD 并恰又落到 EF 位置；（g取10m/s² ） 求：
（l）桿ab剛進入半圓形導軌時，對導軌的壓力；
（2）EF到QN的距離；
（3）磁感應強度B的大小．

Answer 1

分析：（1）金屬桿ab恰能通過最高位置CD時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律可求出經過最高點的速度．棒從NQ到最高點的過程機械能守恒，則可求出棒通過NQ時的速度．棒經NQ時，由重力和軌道的支持力提供其向心力，由牛頓運動定律求出桿ab剛進入半圓形導軌時對導軌的壓力；
（2）ab 離開半圓形導軌后做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，由下落的高度為2R和最高點的速度結合可求出EF到NQ的距離；
（3）桿 ab 做勻減速運動，由運動學公式、牛頓第二定律和安培力結合可求得B．

解答：解：（ 1 ）設桿ab剛進入半圓形導軌時速度為v₁到達最高位置，速度為v₂，由于恰能通過最高點，則：
mg=

mv2

R

      
得：v₂=2

5

m/s     
桿ab進入半圓形導軌后，由于軌道絕緣，無感應電流，則根據機械能守恒：

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

=mg?2R    
得：v₁=10m/s   
設在最低點時半圓形軌道對桿 ab 的支持力為 N
N-mg=

mv2

R

      
解得：N=30N  
（ 2 ）桿ab離開半圓形導軌后做平拋運動，設經時間t落到水平導軌上

1

2

gt2=2R   
解得：t=

2 5

5

s   
則桿ab與NQ的水平距離 S=4m 故EF與NQ的水平距離為4m  
（3）設桿ab做勻減速運動的加速度為a，
則有：v

2 1

-v

2 0

=2as
得：a=-5.5m/s²     
對桿剛要到達NQ位置處進行分析，由F_A=BId，I=

Bdv1

r

得：

B2d2v1

r

根據牛頓第二定律得：F_A=ma
聯立解得：B=

mar d2v1

=

1.1

T≈1.05T
答：（l）桿ab剛進入半圓形導軌時，對導軌的壓力為30N；
（2）EF到QN的距離為4m；
（3）磁感應強度B的大小為1.05T．

點評：本題的突破口是棒恰能通過最高位置CD，達到臨界狀態，由牛頓第二定律可求得臨界速度．本題是電磁感應中的力學問題，安培力的分析和計算是關鍵．