Question

在光滑絕緣體豎直面上建立一直角坐標系，如圖所示，一質量為m=1kg、電荷量為q的帶正電小球，系于長為L=2m的不可伸長的彈性輕繩的一端，繩的另一端固定在坐標原點O，如圖．現豎直平面上加一電場強度大小為E=3mg/q，方向沿y軸負方向的勻強電場，若把小球從O點的正上方距離O點1m處的O₁點以速度v2=4

5

m/s沿x軸正方向拋出．g=10m/s²．求：
（1）輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為θ為多少？
（2）繩被拉直的瞬時，繩對小球所做的功；
（3）當小球再一次經過y軸的瞬時，繩對小球的拉力為多大？

Answer 1

分析：小球在復合場中注意分清小球的運動過程，輕繩即將伸直時，小球做類似平拋運動，根據平拋運動規律可求得繩與豎直方向的夾角；繩被拉直的瞬間，有能量損失，小球損失的能量即為繩對小球做的功；然后小球做圓周運動，由能量守恒求得小球到最低點的速度，根據向心力公式可求繩的拉力．

解答：解：（1）第一過程：小球做類似平拋運動，設繩子即將伸直時，繩子與豎直向上的方向的夾角為θ
如圖所示：

v₀t=Lsinθ
a=

qE+mg

m

=3g+g=4g

1

2

at2=

L

2

-Lcosθ，其中v₀=4

5

m/s，L=2m
聯立解得：θ=

π

2

         
（2）第二過程：繩繃直過程，繩繃直時，繩剛好水平，如下圖所示：                                      
由于繩不可伸長，故繃直時，v₀損失，小球僅有速度v_⊥，且v⊥2=2×4g×

L

2

=4gL
小球損失的能量即為繩對小球做的功
W=0-

1

2

m

v

2 0

=-

1

2

m

v

2 0

代入數據，解得：W=-40J
（3）第三過程：小球在豎直平面內做圓周運動，設小球到達O點正下方時，速度為v′
根據能量守恒有：

1

2

mv′2=

1

2

m

v

2 ⊥

+4mgL
設此時繩子對小球的拉力為F
則F-4mg=

mv′2

L

聯立可得：F=160N
答：（1）輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為θ為

π

2

；（2）繩被拉直的瞬時，繩對小球所做的功為-40J；（3）當小球再一次經過y軸的瞬時，繩對小球的拉力為160N

點評：本題考查小球在復合場中的運動，關鍵要分清小球的運動過程，小球先做類平拋運動，繩繃直時有能量損失，然后做圓周運動，題目綜合性較強，有一定的難度．