Question

如下圖1是過山車的實物圖，圖2為過山車的模型圖．在模型圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點，且兩圓形軌道的最高點A、B均與P點高度相同，圓形軌道與斜軌道之間連接圓滑．為使小車從P點以一定的初速度沿斜面向下運動能過A、B兩點，求小車在P點的速度應滿足什么條件？（小車可視作質點，已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=

1

24

．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：首先根據小車在P點的初速度10m/s，與第一問中v₀比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O₁．若小車恰能通過B點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點的臨界速度，根據動能定理求出小車在P點的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個圓形軌道．

解答：解：由動能定理可得小車在B點的速度小于在A點的速度，而過最高點的臨界速度滿足 mg=

mv2

R

，故小車若能過B點，則一定能過A點．
設小車在P點的速度為v₀時，恰能過B點，則在B點時有：mg=

m v 2 B

R2

．
P點到B點的過程，由動能定理得：-（μmgcosα）L₂=

1

2

mv

2 B

-

1

2

mv

2 0

其中L₂為PZ的距離，滿足L₂=

R2(1+cosα)

sinα

=24m/s
解得：v₀=4

6

m/s
則小車在P點的速度滿足的條件為v_p≥4

6

m/s．
答：小車在P點的速度應滿足的條件是v_p≥4

6

m/s．

點評：本題是豎直平面內圓周運動的類型，關鍵抓住最高點的臨界條件，結合動能定理分析求解．