Question

如圖，豎直平面內有一直角坐標系xOy，在x≥0的區域內有一傾角為45°的絕緣光滑斜面，斜面末端O處用一極小的平滑曲面連接，恰能使斜面末端水平．在x≤0的廣泛區域內存在正交的勻強磁場和勻強電場，磁場垂直于紙面向里，磁感應強度大小為B；電場沿豎直方向，場強大小為E．電荷量為-q的帶電小球從絕緣光滑斜面上某點由靜止開始下滑，小球經斜面末端O點進入電場和磁場，之后沿圓周運動，垂直于y軸離開電場和磁場，最后垂直打到斜面上．
求：
（1）小球從開始運動到垂直打到斜面上所用時間．
（2）小球開始下滑的初始位置坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）畫出小球運動的軌跡，小球經過三個運動過程：1、由靜止開始勻加速運動到斜面末端，由速度公式v=gsin45°t₁求出時間的表達式；2、在左側復合場中做勻速圓周運動，半徑為r=，時間t₂=；3、y軸離開電場和磁場后做平拋運動，垂直落到斜面時，v=v_ytan45°=gt₃，豎直方向位移為  2r-y₂=，y₂=x₂=vt₃，聯立解得各段時間，即可求出總時間．
（2）小球初始位置到斜面末端的距離為 l=，由上求得t₁，即可求出位置的坐標．
解答：解：（1）小球運動的軌跡如圖．初始位置（x₁，y₁），再次回到斜面的落點位置（x₂，y₂），小球經時間t₁運動到末端的速度為v，則
  t₁=  ①
小球在復合場中做勻速圓周運動，則有  mg=qE   ②
軌道半徑為  r=  ③
運動時間為 t₂= ④
小球離開電磁場后做平拋運動，經時間t₃垂直落到斜面時
    v=v_ytan45°=gt₃   ⑤
2r-y₂=   ⑥
y₂=x₂=vt₃，⑦
由②③⑤⑥⑦得， ⑧  ⑨
由②④得，t₂=  ⑩
由①⑨得，
故小球從開始運動到垂直打到斜面上所用時間為t=t₁+t₂+t₃=（+π）．
（2）小球初始位置到斜面末端的距離為 l==
故  x₁=y₁=lsin45°=
答：
（1）小球從開始運動到垂直打到斜面上所用時間為（+π）．．
（2）小球開始下滑的初始位置坐標（，）．
點評：本題的運動過程比較復雜，既要單獨分析各段過程的運動情況，又抓住各過程之間的聯系，這是解題的關鍵所在．