Question

有一種地下鐵道，站臺的路軌建得比正常路軌高些，車輛進站時上坡，出站時下坡，如圖．水平站臺的路軌BC全長L，比正常路軌高出h，所有進出站臺的機車進站時到達坡底A速度均為v₀，關閉動力滑行進站，機車在坡道和站臺上無動力滑行時所受路軌的摩擦阻力為正壓力的k倍，忽略機車長度，路軌在A、B、C處均為平滑連接．
（1）求機車關閉動力后沿坡道從A點滑行到B點時，克服路軌摩擦阻力所做的功與坡道AB的水平距離x之間的關系；
（2）若機車在A點關閉動力后滑行，剛好能停在水平站臺C點，求坡道AB的水平距離x₁；
（3）在不使用制動的條件下，為確保安全運行，站臺設計時坡道AB的水平距離x必須控制在什么范圍？

Answer 1

分析：（1）由摩擦力公式求出車輛受到的摩擦力，然后由功是計算公式求出克服摩擦力所做的功．
（2）應用動能定理可以求出坡道的水平距離．
（3）車輛剛好到達B點時坡道最長，由動能定理求出坡道的最大值，然后確定坡道的范圍．

解答：解：（1）設斜面傾角為θ，AB的長度為s，
機車在坡道上受到的支持力：F_N=mgcosθ，
受到的阻力：F_f=kF_N=kmgcosθ，
克服摩擦阻力做功：
W_克=F_fs=kmgscosθ=kmgx；
（2）當機車剛好停在C點時，
由動能定理得：0-

1

2

m

v

2 0

=-mgh-kmg(x1+L)，
解得：x1=

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

；
（3）x越大，機車在坡道上克服阻力做功越多，在站臺上的停車點越靠近B點．
當機車剛好停在B點時有x₂，由動能定理得：
0-

1

2

m

v

2 0

=-mgh-kmgx2，
解得：x2=

v 2 0 -2gh

2kg

，
所以站臺坡道AB間的水平距離需滿足：

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

≤x≤

v 2 0 -2gh

2kg

；
答：（1）克服路軌摩擦阻力所做的功與坡道AB的水平距離x之間的關系為：W_克=kmgx；
（2）坡道AB的水平距離：x1=

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

；
（3）在不使用制動的條件下，為確保安全運行，站臺坡道AB的水平距離范圍為

v 2 0 -2gh-2kgL

2kg

≤x≤

v 2 0 -2gh

2kg

．

點評：對車輛進行受力分析、應用功的計算公式、動能定理即可正確解題；求坡道的水平距離長度時，先求出其臨界值，再確定其范圍．