Question

5．一湖的南北兩岸各有-碼頭A和B，有甲、乙兩船分別于AB間往返穿梭勻速航行，且船每到一碼頭立即返航（不計船在碼頭停靠的間）．某刻，甲和乙剛好分別自A和B出發，此后，兩船的第一次相遇距A點300米，第二次相遇距B點200米，求湖寬多少？自第一相遇后，甲船至少還要航行多少米，這兩船才會在第一次相遇的位置同樣地相遇．

Answer 1

分析 據兩次相遇用位移關系列出方程聯合求解湖寬；再利用兩船的速度與胡寬列出兩船同時到達AB兩岸的路程關系，再據題意求出兩船所走的趟數關系即可求解．

解答 解：設湖寬為L，甲乙兩船的速度分別為v₁、v₂
設第一次相遇的時間為t，所以：
                v₁t=300   ①
               v₁t+v₂t=L      ②
聯立①②得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{300}{L}$    ③
同理第二次相遇可推導出：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{1}+{v}_{2}}$=$\frac{200+L}{3L}$   ④
聯立③④解得：L=700m　　　
　　　　　　　$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{4}$　　⑤
由于兩船在第一次相遇的位置同樣地相遇，所以兩船應同時到達兩岸（甲和乙剛好分別自A和B出發），設甲、乙兩船同時到達兩岸所用的時間為t₁，所走的趟數分別為n、m（為整數）
所以：v₁t₁=700n　　　⑥
　　　v₂t₂=700m　　　⑦
聯立⑤⑥⑦得：$\frac{n}{m}$=$\frac{3}{4}$
兩船應同時到達兩岸（甲和乙剛好分別自A和B出發），所以n=6；m=8，才能保證回到原岸．
所以甲船至少再行駛的距離：s=6L-300m+300m=4200m
答：湖寬700m，自第一相遇后，甲船至少還要航行4200米，這兩船才會在第一次相遇的位置同樣地相遇．

點評 本題難度較大，一是需要明確運動示意圖，找出各量間的關系，特別是理解好兩船兩船在第一次相遇的位置同樣地相遇，否則易出現少或多300m的情況；二是所列方程的數據處理，否則易出現無法求解現象．