Question

2．宇航員在半徑為R=5000km的某星球表面做了如下實驗，實驗裝置如圖甲所示，豎直平面內的光滑軌道由斜軌道AB和圓管軌道BC組成．將質量為m=0.2kg的小球從軌道上高為H處的某點由靜止釋放，小球的直徑略小于圓管的直徑，小球經過最高點C時的動能E_x隨H的變化關系如圖乙所示，求：
（1）圓管軌道的半徑r；
（2）該星球表面的重力加速度g；
（3）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律可以求出圓管的軌道半徑；
（2）小球在圓管內做圓周運動，機械能守恒定律結合F-H圖線求出星球表面的重力加速度．
（3）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運動的速度相等，根據萬有引力等于重力求出該星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球從A到C過程機械能守恒，由機械能守恒定律得：mg（H-2r）=E_K，
由圖示圖象可知：H=0.4m時，E_K=0，
解得：r=0.2m；
（2）小球從A到C過程機械能守恒，由機械能守恒定律得：mg（H-2r）=E_K，
由圖示圖象可知：H=0.8m時，E_K=0.4J，
解得：g=5m/s²；                   
（3）星球表面的物體受到的萬有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
衛星做圓周運動萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=5×10³m/s=5km/s；
答：（1）圓管軌道的半徑r為0.2m；
（2）該星球表面的重力加速度g為5m/s²；
（3）該星球的第一宇宙速度為5km/s．

點評 本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關鍵根據該規律得出壓力F與H的關系式，能讀取圖象的有效信息．