Question

如圖所示，兩根相距為d足夠長的光滑平行金屬導軌位于水平的xOy平面內，導軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側存在豎直向下的磁場，金屬棒質量為m，電阻為r，與金屬導軌垂直放置，且接觸良好．開始時，金屬棒位于x=0處，現給金屬棒一大小為v、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導軌滑動，金屬導軌電阻可忽略不計．問：
（1）金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做的功和電阻R上產生的焦耳熱；
（2）若導軌間的磁場是勻強磁場，磁感應強度為B，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x₁；
（3）若導軌間的磁場是非勻強磁場，磁感應強度B沿x軸正方向增加，且大小滿足B²=kx，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據動能定理求出金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做功的大小，抓住克服安培力做功等于整個回路產生的熱量求出電阻R上產生的焦耳熱．
（2）根據切割產生的感應電動勢，結合閉合電路歐姆定律以及安培力的大小公式求出安培力的大小，根據牛頓第二定律求出加速度，結合微分的思想求出導體棒最終在導軌上靜止時滑行的距離．
（3）將B²=kx代入微分表達式，采用微分的思想求出導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x₂．
解答：解：（1）根據動能定理得，安培力做功
克服安培力做功等于整個回路產生的熱量，則
 所以電阻R上產生的熱量．
（2）切割產生的感應電動勢E=Bdv
安培力
根據牛頓第二定律得，
△v=a△t

解得
（3）將B²=kx代入得，

解得．
答：（1）金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做的功為，電阻R上產生的熱量為．
（2）導體棒最終在導軌上靜止時的坐標．
（3）導體棒最終在導軌上靜止時的坐標．
點評：本題綜合考查了切割產生的感應電動勢、牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律等知識，綜合性強，對數學能力的要求較高，是一道難題．