Question

如圖所示，裝置的左邊AB部分是長為L₁=1m的水平面，一水平放置的輕質彈簧左端固定并處于原長狀態；裝置的中間BC部分是長為L₂=2m的水平傳送帶，它與左右兩邊的臺面等高，并能平滑對接，傳送帶始終以v=2m/s 的速度順時針轉動；裝置的右邊是一光滑的曲面，質量m=1kg的小滑塊從其上距水平臺面h=1m的D處由靜止釋放，并把彈簧最大壓縮到O點，OA間距x=0.1m，并且彈簧始終處在彈性限度內．已知物塊與傳送帶及左邊水平面之間的摩擦因數μ=0.25，取g=10m/s²．

（1）滑塊第一次到達B處的速度；
（2）彈簧儲存的最大彈性勢能；
（3）滑塊再次回到右邊曲面部分所能到達的最大高度．

Answer 1

分析：（1）滑塊第一次從D到B的過程中，重力做功mgh，滑動摩擦力做功-μmgL₂，根據動能定理求解滑塊第一次到達B處的速度；
（2）滑塊從B到O過程，其動能轉化為內能和彈簧的彈性勢能，由能量守恒定律求解彈簧儲存的最大彈性勢能；
（3）根據能量守恒定律求得滑塊第二次經過B點時的速度大小，根據此速度與傳送帶速度的大小關系，判斷出滑塊將做勻加速運動，由運動學公式求出滑塊的速度增加到與傳送帶相等時，通過的位移，即可知道滑塊離開傳送帶時的速度．滑塊從C到再次回到右邊曲面部分所能到達的最大高度的過程中，重力做功，由動能定理求解最大高度．

解答：解：（1）設滑塊第一次到達B處的速度為v₁，對滑塊從D到B的過程，根據動能定理得
    mgh-μmgL₂=

1

2

m

v

2 1

解得，v₁=

10

m/s
（2）滑塊從B到O過程，由能量守恒定律得
  E_P=

1

2

m

v

2 1

-μmg（L₁-x）
解得，E_P=2.75J
（3）設滑塊再次到達B處的速度為v₂，對滑塊第一次到達B到再次到達B的過程，根據動能定理得
-2μmg（L₁-x）=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

，解得 v₂=1m/s＜v=2m/s
則知滑塊再次滑上傳送帶后將勻加速運動，由牛頓第二定律得
  μmg=ma，得a=2.5m/s²．
速度增加到與傳送帶相同所經歷的位移為
  L=

v2- v 2 2

2a

=0.6m＜L₂=2m，
可知，滑塊接著相對傳送帶靜止，速度為v=2m/s
對從C到最高點的過程，由動能定理得
-mgh′=0-

1

2

mv2
解得，h′=0.2m
答：
（1）滑塊第一次到達B處的速度是

10

m/s；
（2）彈簧儲存的最大彈性勢能是2.75J；
（3）滑塊再次回到右邊曲面部分所能到達的最大高度是0.2m．

點評：本題是多過程問題，分析滑塊經歷的過程，運用動能定理、牛頓第二定律和運動學公式結合按時間順序分析和計算，難度適中．