Question

4．如圖所示，斜面體固定在水平面上，斜面光滑，傾角為θ，斜面底端固定有與斜面垂直的擋板，木板下端離地面高H，上端放著一個細物塊．木板和物塊的質量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmgsinθ（k＞1），斷開輕繩，木板和物塊沿斜面下滑．假設木板足夠長，與擋板發生碰撞時，時間極短，無動能損失，空氣阻力不計．求：
（1）木板第一次與擋板碰撞彈起上升過程中，木板的加速度；
（2）從斷開輕繩到木板與擋板第二次碰撞的瞬間，木板運動的路程s；
（3）為使物塊不與擋板相碰，木板至少多長．

Answer 1

分析 （1）木板上升時，對木板受力分析，在沿斜面方向上由牛頓運動定律列式求解，便可求出木板的加速度；
（2）此題要分段進行計算，第一段是木板開始下落直至第一次與擋板碰撞的過程，由幾何關系可求出此過程的路程，第二段是從第一次與擋板碰撞到第一次運動到最高點，第三段是從最高點下落到第二次與擋板碰撞，后兩段路程相同．可由牛頓運動定律和運動學公式求得．
（3）當物塊和木板最終都靜止時，物塊剛好運動到木板底端，此時木板最短，以木板和物塊組成的系統為研究對象，根據能的轉化和守恒列式求解．

解答 解：（1）木板第一次與擋板碰撞彈起上升過程中，物塊繼續向下運動，
設木板彈起后的加速度a_板，以向下為正，由牛頓第二定律 a_板=$\frac{mgsinθ+kmgsinθ}{m}$=（k+1）gsinθ，
（2）設以地面為零勢能面，木板第一次與擋板碰撞時的速度大小為v₁，
由機械能守恒得：$\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}=2mgH$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gH}$
木板第一次彈起的最大路程${s}_{1}=\frac{-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{板}}$
解得：${s}_{1}=\frac{H}{（k+1）sinθ}$
木板運動的路程S=$\frac{H}{sinθ}$+2S₁=$\frac{（k+3）H}{（k+1）sinθ}$
（3）當物塊和木板最終都靜止時，物塊剛好運動到木板底端，此時木板最短，即木塊和木板的相對位移為L，
根據能量守恒有：
mgH+mg（H+Lsinθ）=kmgsinθL
解得：L=$\frac{2H}{ksinθ-sinθ}$
答：（1）木板第一次與擋板碰撞彈起上升過程中，木板的加速度大小為（k+1）gsinθ，方向向下；
（2）從斷開輕繩到木板與擋板第二次碰撞的瞬間，木板運動的路程s為$\frac{（k+3）H}{（k+1）sinθ}$；
（3）為使物塊不與擋板相碰，木板的長度至少為$\frac{2H}{ksinθ-sinθ}$．

點評 此題考察到了能量的轉化與守恒定律，牽扯到了重力和摩擦力做功，要注意的是重力做功與路徑無關，只與初末位置的高度差有關，摩擦力做功會使機械能轉化為內能，等于在整個過程中機械能的損失．在應用牛頓運動定律和運動學公式解決問題時，要注意運動過程的分析，此類問題，還要對整個運動進行分段處理．