Question

如下圖所示，兩塊帶有等量異種電荷的平行金屬板分別固定在長L=1 m的光滑絕緣板的兩端，組成一帶電框架，框架右端帶負電的金屬板上固定著一根原長L₀=0.5 m的絕緣輕彈簧。框架的總質量M=9 kg，由于帶電，兩金屬板間存在U=4×10⁴ V的高電壓。現用一質量m=1 kg、電荷量q=+2.5×10^-3 C的帶電小球（可看成質點，且不影響金屬板間的勻強電場）將彈簧壓縮ΔL=0.2 m后用輕質細線拴住，使整個裝置在光滑水平面上以v₀=1 m/s的速度向右運動，運動中因拴小球的細線突然斷裂而使小球被彈簧彈開，小球被彈簧彈開瞬間獲得的速度大小v₁=8 m/s，方向向左。不計一切摩擦，且系統電勢能的變化量等于小球所受電場力和小球相對于電場沿電場方向發生位移的乘積。

（1）求小球被彈簧彈開的瞬間，框架的速度；

（2）求小球被彈簧彈開的過程中，彈簧釋放的彈性勢能；

（3）通過分析計算回答：在細線斷裂以后的運動中，小球能否與左端金屬板發生接觸？

Answer 1

解：（1）設小球被彈簧彈開的瞬間，框架的速度為v₂，此時彈簧剛好恢復原長，由動量守恒定律有：(M+m)v₀=Mv₂-mv₁,

解得v₂=2 m/s,

方向向右。

（2）設彈簧釋放的彈性勢能為E_P，由能量守恒定律得

E_P=(m+M)v₀²=mv₁²+Mv₂²+

代入數據后解得E_P=65 J。

(3)小球脫離彈簧后，向左做減速運動，框架向右做減速運動。小球通過電場與框架發生相互作用，當小球與框架速度再次相等時，小球相對框架位移最大。

根據動量守恒，有：

Mv₂-mv₁=(M+m)v

解得：小球和框架的共同速度v=v₀=1 m/s,

設小球被彈開到兩者速度再次相等，小球對地位移為s₁，框架對地位移為s₂，根據動能定理有：

對小球：=mv²-mv²₁

對框架：=Mv²-Mv²₂

代入數值解得：s₁=31.5 cm(向左)

s₂=13.5 cm(向右）

小球被彈開時距框架左側的距離為L-ΔL=0.5 m

因s₁+s₂=0.45 m＜0.5 m,故小球不會碰到左側金屬板。