Question

12．如圖甲所示，兩根相距L=0.5m的平行金屬導軌固定在水平面上，導軌左端與阻值R=2Ω的定值電阻連接，導軌間虛線右側存在垂直導軌平面的勻強磁場．一質量m=0.2kg的金屬桿垂直置于導軌上，現對桿施加一水平向右的恒定拉力，使桿由靜止開始運動，運動的v-t圖象如圖乙所示，在15s末撤去拉力，同時使磁場隨時間變化，使得桿中無電流．桿在運動過程中始終保持與導軌垂直并接觸良好，導軌與金屬桿的電阻均忽略不計．求：

（1）拉力的大小；
（2）0～15s內勻強磁場的磁感應強度大小；
（3）撤去拉力后，磁感應強度隨時間變化的規律．

Answer 1

分析 （1）根據金屬桿的受力情況，由牛頓第二定律列方程，由v-t求出求出金屬桿的加速度，然后求出拉力F．
（2）在10-15s內，金屬桿做勻速直線運動，應用安培力公式F=BIL求出安培力，然后應用平衡條件求出磁感應強度．
（3）當穿過回路的磁通量不變時不產生感應電流，據此求出磁感應強度的變化規律．

解答 解：（1）由v-t圖象可知，在0-10內，金屬桿做勻加速直線運動，桿沒有進入磁場，由牛頓第二定律得：
   F-μmg=ma₁，
由題意可知，15s末撤去拉力，沒有感應電流，桿不受安培力作用，桿所受的合外力為滑動摩擦力，由牛頓第二定律得：
   μmg=ma₂，
由v-t圖象可知，加速度：a₁=$\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}$=$\frac{4}{10}$=0.4m/s²，a₂=$\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}$=$\frac{4}{20-15}$=0.8m/s²，
聯立解得：F=0.24N；
（2）在10-15s內，金屬桿做勻速直線運動，速度為：v=4m/s，
金屬桿受到的安培力：F_安=BIL=B$\frac{BLv}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
金屬桿做勻速直線運動，處于平衡狀態，由平衡條件得：
   F=μmg+F_安
代入數據解得：B₀=0.4T；
（3）15-20s內不產生感應電流，說明穿過回路的磁通量保持不變．
金屬桿在10-15s內的位移：d=vt=4×5=20m，
在15s后的金屬桿的加速度大小為：a=a₂=0.8m/s²，
金屬桿的位移與時間的關系為：x=v（t-15）-$\frac{1}{2}$a（t-15）²=4（t-15）-0.4（t-15）²
磁通量保持不變，則：BLd=BB_tL（d+x），
解得：B_t=$\frac{20}{40t-{t}^{2}-325}$T，（t≥15s）
答：
（1）金屬桿所受拉力的大小F為0.24N；
（2）0-15s內勻強磁場的磁感應強度大小為0.4T；
（3）15-20s內磁感應強度隨時間變化規律為：B_t=$\frac{20}{40t-{t}^{2}-325}$T，（t≥15s）．

點評 本題是電磁感應與力學相結合的綜合題，知道不產生感應電流的條件：磁通量不變，能正確分析受力情況，熟練推導安培力與速度的關系式．