Question

17．如圖所示：絕緣中空軌道豎直固定，圓弧段COD光滑，對應圓心角為120°，C、D兩端等高，O為最低點，圓弧圓心為O′，半徑為R；直線段AC、HD粗糙，與圓弧段分別在C、D端相切；整個裝置處于方向垂直于軌道所在平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場中，在豎直虛線MC左側和ND右側還分別存在著場強大小相等、方向水平向右和向左的勻強電場．現(xiàn)有一質量為m、電荷量恒為q、直徑略小于軌道內徑、可視為質點的帶正電小球，從軌道內距C點足夠遠的P點由靜止釋放．已知PC=L，小球所受重力大小為電場力的$\sqrt{3}$倍，重力加速度為g．
（1）定性說明小球第一次沿軟道AC下滑時的運動情況；
（2）求小球在軌道內受到的摩擦力的最大值；
（3）求小球從釋放開始，經過足夠長時間，小球克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）開始時，根據(jù)重力與電場力的大小，即可知帶電小球與管壁無作用力，當小球下滑后做加速運動，導致洛倫茲力增加，從而使得小球與管壁間的作用力增加，進而滑動摩擦力增大，由牛頓第二定律即可分析小球的運動情況；
（2）當小球的摩擦力與重力及電場力的合力相等時，小球做勻速直線運動，小球在軌道內受到的摩擦力最大．根據(jù)滑動摩擦力等于電場力與重力的合力，從而求解；
（3）根據(jù)動能定理，結合電場力與重力的合力做功，與摩擦力做功的之和為零，來求解小球克服摩擦力做的功．

解答 解：A、小球第一次沿軌道AC下滑的過程中，由于重力大小為電場力的$\sqrt{3}$倍，由平行四邊形定則可知，電場力與重力的合力方向恰好沿著斜面AC向下，剛開始小球與管壁間無作用力，當從靜止開始運動后，隨著速度的增大，由左手定則可知，洛倫茲力導致球對管壁有作用力，使得小球所受的滑動摩擦力增大，而重力與電場力的合力不變，所以小球的合外力減小，根據(jù)牛頓第二定律可知，小球做加速度減小的加速運動，當摩擦力等于兩個力的合力時，做勻速運動；
（2）當小球的摩擦力與重力及電場力的合力相等時，小球做勻速直線運動，小球在軌道內受到的摩擦力最大，大小為 f_m=$\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}$，又 qE=$\frac{mg}{\sqrt{3}}$，解得 f_m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mg；
（3）小球從釋放開始，經過足夠長時間，小球在CD間往復運動，到達C或D的速度為零．取從靜止開始到最終速度為零的過程，根據(jù)動能定理得知，摩擦力做功與重力及電場力做功之和為零，所以小球克服摩擦力做的總功等于電場力與重力的合力做的功，為 W=$\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}$ L=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mgL．
答：（1）小球第一次沿軟道AC下滑時的運動情況是小球先做加速度減小的加速運動，最后做勻速運動；
（2）小球在軌道內受到的摩擦力的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mg；
（3）小球從釋放開始，經過足夠長時間，小球克服摩擦力做的功是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mgL．

點評 解決本題的關鍵要正確分析小球的受力情況，來判斷其運動情況，要抓住洛倫茲力與速度是成正比的關系，應用牛頓第二定律、動能定理，分析要注意重力與電場力的合力正好沿著斜面向下．