Question

5．傳送帶被廣泛應用與各行各業，由于不同的物體與傳送帶之間的動摩擦因數不同，物體在傳送帶上的運動情況也有所不同．如圖所示，一傾斜放置的傳送帶與水平面的傾角θ=37°，在電動機的帶動下以v=2m/s的速率順時針方向勻速運行．M、N為傳送帶的兩個端點，MN兩點間的距離L=7m．N端有一離傳送帶很近的擋板P可將傳送帶上的物塊擋住．在傳送帶上的O處先后由靜止釋放金屬塊A和木塊B，金屬塊與木塊質量均為1kg，且均可視為質點，OM間距離L=3m．sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦．
（1）金屬塊A由靜止釋放后沿傳送帶向上運動，經過2s到達M端，求金屬塊與傳送帶間的動摩擦因數μ₁．
（2）木塊B由靜止釋放后沿傳送帶向下運動，并與擋板P發生碰撞．已知碰撞時間極短，木塊B與擋板P碰撞前后速度大小不變，木塊B與傳送帶間的動摩擦因數μ₂=0.5．求：
a、與擋板P第一次碰撞后，木塊B所達到的最高位置與擋板P的距離；
b、經過足夠長時間，電動機的輸出功率恒定，求此時電動機的輸出功率．

Answer 1

分析 （1）金屬塊A在傳送帶方向上受摩擦力和重力的下滑分力，先做勻加速運動，并設其速度能達到傳送帶的速度v=2m/s，然后做勻速運動，抓住總位移的大小，結合運動學公式求出加速度的大小，根據牛頓第二定律求出動摩擦因數的大小．
（2）a、根據牛頓第二定律求出木塊下滑的加速度，從而結合速度位移公式求出與擋板碰撞的速度，反彈后，速度大于傳送帶速度，摩擦力向下，速度與傳送帶速度相等后，摩擦力向上，根據牛第二定律分別求出上滑過程中的加速度，結合運動學公式求出木塊B所達到的最高位置與擋板P的距離．
b、經過多次碰撞后木塊B以2m/s的速度被反彈，最終在距N點1m的范圍內不斷以加速度a₂做向上的減速運動和向下的加速運動．木塊B對傳送帶有一與傳送帶運動方向相反的阻力，結合P=μmgvcosθ求出電動機的輸出功率．

解答 解：（1）金屬塊A在傳送帶方向上受摩擦力和重力的下滑分力，先做勻加速運動，并設其速度能達到傳送帶的速度v=2m/s，然后做勻速運動，達到M點．
金屬塊由O運動到M，有：
$L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}+v{t}_{2}$，
且t₁+t₂=t，
即：t₁+t₂=2，
v=at₁，即：2=at₁ 
解得：t₁=1s＜t=2s  符合題設要求，加速度a=2m/s²        
根據牛頓第二定律有μ₁mgcos37°-mgsin37°=ma，
解得金屬塊與傳送帶間的動摩擦因數μ₁=1；                     
（2）a．由靜止釋放后，木塊B沿傳送帶向下做勻加速運動，其加速度為a₁，運動距離L_ON=4m，第一次與P碰撞前的速度為v₁
a₁=gsinθ-μgcosθ=2m/s²        
${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}{L}_{ON}}=4m/s$ 
與擋板P第一次碰撞后，木塊B以速度v₁被反彈，先沿傳送帶向上以加速度a₂做勻減速運動直到速度為v，此過程運動距離為s₁；之后以加速度a₁繼續做勻減速運動直到速度為0，此時上升到最高點，此過程運動距離為s₂．
a₂=gsinθ+μgcosθ=10m/s²，
${s}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{{4}^{2}-{2}^{2}}{2×10}=0.6m$，
${s}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{2}^{2}}{2×2}m=1m$，
因此與擋板P第一次碰撞后，木塊B所達到的最高位置與擋板P的距離s=s₁+s₂=0.6m+1m=1.6m
b．木塊B上升到最高點后，沿傳送帶以加速度a₁向下做勻加速運動，與擋板P發生第二次碰撞，碰撞前的速度為v₂
v₂=$\sqrt{2{a}_{1}（{s}_{1}+{s}_{2}）}=\sqrt{2×2（0.6+1）}m/s=\sqrt{6.4}m/s$
與擋板第二次碰撞后，木塊B以速度v₂被反彈，先沿傳送帶向上以加速度a₂做勻減速運動直到速度為v，此過程運動距離為s₃；之后以加速度a₁繼續做勻減速運動直到速度為0，此時上升到最高點，此過程運動距離為s₄．
${s}_{3}=\frac{{v}_{2}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{6.4-4}{2×10}m=0.12m$
${s}_{4}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{4}{2×2}m=1m$
木塊B上升到最高點后，沿傳送帶以加速度a₁向下做勻加速運動，與擋板P發生第三次碰撞，碰撞前的速度為v₃
${v}_{3}=\sqrt{2{a}_{1}（{s}_{3}+{s}_{4}）}=\sqrt{2×2（0.12+1）}=\sqrt{4.48}m/s$
與擋板第三次碰撞后，木塊B以速度v₃被反彈，先沿傳送帶向上以加速度a₂做勻減速運動直到速度為v，此過程運動距離為s₅；之后以加速度a₁繼續做勻減速運動直到速度為0，此時上升到最高點，此過程運動距離為s₆．
${s}_{5}=\frac{{v}_{3}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{4.48-4}{2×10}m=0.024m$
${s}_{6}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{4}{4}m=1m$
以此類推，經過多次碰撞后木塊B以2m/s的速度被反彈，在距N點1m的范圍內不斷以加速度a₂做向上的減速運動和向下的加速運動．
木塊B對傳送帶有一與傳送帶運動方向相反的阻力
F_f=μmgcosθ
故電動機的輸出功率P=μmgvcosθ
解得P=8W．                                 
答：（1）金屬塊與傳送帶間的動摩擦因數為1；
（2）與擋板P第一次碰撞后，木塊B所達到的最高位置與擋板P的距離為1.6m；
電動機的輸出功率為8W．

點評 本題是一個多過程問題，比較復雜，關鍵理清物塊在傳送帶上整個過程中的運動規律，搞清摩擦力的方向，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．