Question

15．如圖，虛線AB右側是磁感應強度為B₁的勻強磁場，左側是磁感應強度為B₂的勻強磁場．已知$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=2．磁場的方向垂直于圖中的直面并指向紙面內，現有一帶正電的粒子自圖中O處以初速度v₀開始向右運動．求從開始時刻到第10次通過AB線向右運動的時間內，該粒子在AB方向的平均速度．

Answer 1

分析 粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛侖茲力充當向心力可求得半徑大小關系；由左手定則可明確粒子的偏轉方向；再由周期公式求出運動周期；最后結合題目的條件求出總時間與平均速度即可．

解答 解：根據左手定則及洛侖茲力充當向心力可得，粒子在磁場中將沿逆時針方向旋轉；
設粒子的質量為m，帶電量為q，則：
由洛倫茲力提供向心力，得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可知：$R=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
因B₁=2B₂，粒子在兩部分磁場中的半徑之比為：
$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；
所以粒子在磁場中運動的一個周期的軌跡如圖：

可知經過一個周期后，粒子從距離O點（2R₂-2R₁）=2R₁的位置第二次經過虛線AB，運動的方向向右；結合運動的周期性可知，當粒子第10次經過虛線時，粒子到O點的距離：L=$\frac{10}{2}×2{R}_{1}=10{R}_{1}=\frac{10m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
根據帶電粒子在磁場中運動的周期公式：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在兩磁場中的運動一個周期時，時間之和為：T=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$=$\frac{πm}{{B}_{1}q}$+$\frac{πm}{{B}_{2}q}$=$\frac{3πm}{q{B}_{1}}$；
當粒子第10次經過虛線時歷時5個周期，所以：t=5T=$\frac{15πm}{q{B}_{1}}$
所以，粒子的平均速度：$\overline{v}=\frac{L}{t}=\frac{\frac{10m{v}_{0}}{q{B}_{1}}}{\frac{15πm}{q{B}_{1}}}=\frac{2{v}_{0}}{3π}$
平均速度的方向向下．
答：粒子在AB方向的平均速度大小為$\frac{2{v}_{0}}{3π}$，方向向下．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，要注意洛侖茲力不做功，粒子的速度不變；由向心力公式可求得粒子運動的半徑之比．