Question

10．如圖所示，寬度為L的光滑平行金屬導軌PQ和P′Q′傾斜放置，頂端QQ′之間連接一個阻值為R的電阻和開關S，底端PP′處通過一小段平滑圓弧與一段光滑水平軌道相連．已知水平軌道離地面的高度為h，兩傾斜導軌間有一垂直于導軌平面向下的勻強磁場，磁感應強度為B；有兩根長均為L、質量均為m、電阻均為R的金屬棒AA′、CC′．當金屬棒CC′放置在水平軌道右端時，兩水平軌道間就會出現豎直方向的磁感應強度為B₁的勻強磁場，此時開關S處于斷開狀態；而如果金屬棒CC′一離開水平軌道，水平軌道間的磁場就馬上消失，同時開關S馬上閉合．現把金屬棒CC′放在光滑水平軌道上右端，金屬棒AA′離水平軌道高為H的地方以較大的初速度v₀沿軌道下滑，在極短時間內金屬棒CC′就向右離開水平軌道，離開水平軌道后在空中做平拋運動，落地點到拋出點通過的水平距離為x₁，金屬棒AA′最后也落在水平地面上，落地點到拋出點的水平距離為x₂；不計導軌電阻，忽略金屬棒經過PP′處的機械能損失，不計空氣阻力，已知重力加速度為g，求：
（1）判斷B₁的方向
（2）通過CC′的電量q
（3）整個運動過程中金屬棒AA′產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據右手定則分析電流方向，再根據左手定則即可分析磁場方向；
（2）根據平拋運動規律可求得開始時的速度，再根據動量定理進行分析從而求出電量；
（3）根據能量關系進行分析，明確AA’減小的動能轉變為內能和后來的動能以及CC'的動能，再根據串聯電路規律進行分析即可求解AA'上消耗的電能．

解答 解：（1）由右手定則要知，AA′中電流為由A到A′，因此CC′電流為C′到C，同根據左手定則可知，要使導體棒向外飛出，則磁場應垂直平面向下；
（2）CC′就向右離開水平軌道，離開后在空中做平拋運動
水平方向x₁=v₁t
豎直方向h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₁=$\sqrt{\frac{g}{2h}}$x₁
同時對飛出過程由動量定理可知：
BILt=mv₁
而q=It
聯立解得：
q=$\frac{m{x}_{1}}{{B}_{1}L}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（3）對于金屬棒AA′平拋過程分析可得：
水平方向x₂=v₂t
豎直方向h=$\frac{1}{2}$gt²
在整過程中產生的內能為：
Q_總=mgH+$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{mg（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{4h}$
金屬棒產生的焦耳熱 Q=$\frac{R}{R+R}$Q_總=$\frac{1}{2}$Q_總
解得 Q=$\frac{1}{2}$mgH+$\frac{1}{4}$mv₀²-$\frac{mg（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{8h}$
答：（1）判斷B₁的方向為垂直平面向下；
（2）通過CC′的電量q為$\frac{m{x}_{1}}{{B}_{1}L}$$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（3）整個運動過程中金屬棒AA′上產生的焦耳熱Q為$\frac{1}{2}$mgH+$\frac{1}{4}$mv₀²-$\frac{mg（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）}{8h}$．

點評 本題考查導體切割磁感線與能量相結合題型的分析，要注意明確根據功能關系求解內能，而根據平均電動勢和動量定理分析求解電量，本題內容較多，對學生要求較高．