Question

人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉（設為勻速圓周運動）時，既具有動能又具有引力勢能（引力勢能實際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛(wèi)星所具有的）。設地球的質量為M，以衛(wèi)星離地還需無限遠處時的引力勢能為零，則質量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時的引力勢能為（G為萬有引力常量）。
   （1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星所具有的機械能的絕對值恰好等于其動能。
   （2）當物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星，這個速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示。用R表示地球的半徑，M表示地球的質量，G表示萬有引力常量.試寫出第二宇宙速度的表達式。
    （3）設第一宇宙速度為v₁，證明：。

Answer 1

解：（1）設衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動的速度為v，地球的質量為M，衛(wèi)星的質量為m。有萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力：　 所以，人造衛(wèi)星的動能：　 衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢能為：　 所以衛(wèi)星具有的機械能為： 所以： （2）設物體在地于表面的速度為v₂，當它脫離地球引力時，此時速度為零，由機械能守恒定律得： 得： （3）第一宇宙速度即為繞地球表面運行的速度，故有： 得 所以有：