Question

（2008?如皋市模擬）人造地球衛星繞地球旋轉時，既具有動能又具有引力勢能（引力勢能實際上是衛星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛星所具有的）．設地球的質量為M，以衛星離地無限遠處時的引力勢能為零，則質量為m的人造衛星在距離地心為r處時的引力勢能為Ep=-

GMm

r

（G為萬有引力常量）．
（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運動的人造衛星所具有的機械能的絕對值恰好等于其動能．
（2）當物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造衛星，這個速度叫做第二宇宙速度，用v₂表示．用R表示地球的半徑，M表示地球的質量，G表示萬有引力常量．試寫出第二宇宙速度的表達式．
（3）設第一宇宙速度為v₁，證明：v2=

2

v1．

Answer 1

分析：（1）人造衛星機械能守恒，由萬有引力提供向心力公式，求出關于速度的表達式，再根據動能的具體形式進行代換，求出動能，動能加上此時的引力勢能即為機械能，將機械能的絕對值與動能進行比較即可．
（2）第二宇宙速度為衛星脫離地球束縛的最小速度，即衛星在地表處動能剛好等于此處勢能時便可脫離地球．
（3）當衛星繞地球附近做勻速圓周運動時的速度，即為第一宇宙速度，由萬有引力和向心力結合得到第一宇宙速度，即可得證．

解答：解：（1）設衛星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動的速度為v，地球的質量為M，衛星的質量為m．有萬有引力提供衛星做圓周運動的向心力：G

Mm

r2

=

mv2

r

所以，人造衛星的動能：Ek=

1

2

mv2=

1

2

GMm

R

衛星在軌道上具有的引力勢能為：Ep=-

GMm

r

所以衛星具有的引力勢能為：E=Ek+Ep=

1

2

GMm

r

-

GMm

r

=-

1

2

GMm

r

所以：|E|=|-

1

2

GMm

r

|=

1

2

GMm

r

（2）設物體在地于表面的速度為v₂，當它脫離地球引力時r→∞，此時速度為零，由機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 2

-

GMm

R

=0
解得：v2=

2GM R

（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運行的速度，故有：G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

得：v2=

2

GM R

=

2

v1
答：
（1）證明過程如上所述；
（2）第二宇宙速度的表達式是

2GM R

．
（3）證明過程如上所述．

點評：此題是機械能守恒在天體中的運動問題，要充分利用萬有引力提供向心力的條件，并且選無限遠處為勢能零點時，地球表面處勢能最大，當動能大于或等于地球表面勢能時，衛星就能脫離地球的吸引．