Question

16．如圖所示，在xOy坐標系中，N、P分別位于x軸和y軸上，ON=12cm，∠PNO=30°．第I象限內NP的上方有勻強磁場，磁感應強度B=1T，第Ⅳ象限內有豎直向上的勻強電場，將一質量m=8×10^-10kg、電荷量q=1×10^-4C的帶正電粒子，從電場中M（12，-8）點由靜止釋放，經電場加速后從N點進入磁場，又從y軸上P點穿出磁場．不計粒子重力，取π=3，求：
（1）勻強電場的電場強度E及粒子在磁場中的運動時間；
（2）若將粒子由（6，-8）點由靜止釋放，求粒子離開磁場的位置．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中加速，獲得速度后進入磁場做勻速圓周運動，轉小半圈從P點穿出．由幾何關系得到做勻速圓周運動的半徑，再由半徑公式變形求得速度．直接根據動能定理就能求得電場強度．
（2）先判斷出粒子再次以相等的速度進入磁場，合成粒子運動的軌跡，由幾何關系即可求出．

解答 解：（1）粒子在磁場中的軌跡如圖1，設粒子做圓周運動的軌道半徑為R，由幾何關系，得
    R+Rsin30°=ON=12cm，
代入數據解得R=8cm，
由qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\frac{qBR}{m}$=$\frac{1×1{0}^{-4}×1×0.08}{8×1{0}^{-4}}m/s=0.01m/s$，
由幾何關系得：粒子在磁場中運動軌跡所對圓心角為120°，則有t=$\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2×3×8×1{0}^{-4}}{1×1{0}^{-4}×1×3}$s=16s．
粒子在電場中運動時，由動能定理得 $qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
代入數據解得E=5×10^-3V/m．
（2）當粒子由（6，-8）點由靜止釋放時，電場對粒子做的功不變，所以粒子仍然以0.01m/s的速度進入磁場，所以粒子在磁場中運動的半徑不變，畫出粒子運動的軌跡如圖，由幾何關系可知：

R²=（R-6）²+d²
聯立得：d=$2\sqrt{15}$cm
由幾何關系還可得：$OP=ON•tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}ON=\frac{\sqrt{3}}{3}×12cm=4\sqrt{3}$cm
所以粒子離開磁場的位置的縱坐標：y=d+$\frac{OP}{2}$=$2\sqrt{15}cm+\frac{1}{2}×4\sqrt{3}cm$=$（2\sqrt{15}+2\sqrt{3}）$cm
可知粒子離開磁場的位置的坐標是[0，$（2\sqrt{15}+2\sqrt{3}）$cm]
答：（1）勻強電場的電場強度E是5×10^-3V/m，粒子在磁場中的運動時間是16s；
（2）若將粒子由（6，-8）點由靜止釋放，求粒子離開磁場的位置是[0，$（2\sqrt{15}+2\sqrt{3}）$cm]．

點評 本題是帶電粒子先經電場加速后經磁場偏轉的類型，畫出軌跡，分析粒子的運動情況是解答的基礎，關鍵是根據幾何關系求出磁場中運動的軌道半徑．