Question

如圖所示，Q為一個原來靜止在光滑水平面上的物體，質量為M，它帶有一個凹形的不光滑軌道，軌道的ab段是水平的，bc段是位于豎直平面內半徑為R 的

1

4

圓弧，ab恰是圓弧bc的切線，P是另一個可看作質點的小物體，質量為m，它與軌道間的動摩擦因數為μ，物體P以沿水平方向的初速度v₀沖上Q的軌道，已知它恰能到達軌道頂端C點，后又沿軌道滑下，并最終在a點停止滑動，然后與Q一起在水平面上運動．
（1）求P從a點滑動到．點過程中，系統產生的熱量；
（2）P經過軌道的哪個位置時（要求用圖中的角θ表示），Q的速度達到最大？

Answer 1

分析：（1）當P到達C點，P、Q具有共同的水平速度v，根據系統水平方向動量守恒，求出共同速度，再根據系統的能量守恒列方程，求解熱量Q．
（2）分析P從C滑到b的過程中Q的受力，作出力圖，只有Q在水平方向受力平衡時速度才最大，即可根據力圖求解．

解答：解：（1）當P到達C點，P、Q具有共同的水平速度v，則系統水平方向動量守恒有：
 mv₀=（m+M）v
 根據系統的能量守恒有：

1

2

mv₀²=

1

2

（m+M）v²+mgR+Q
∴Q=

Mm v 2 0

2(m+M)

-mgR
（2）分析P從C滑到b的過程中Q的受力．如圖所示，只有Q在水平方向受力平衡時速度才最大，此時有
fcosθ=Nsinθ
而 f=μN
故tgθ=μ
即P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為θ=arctgμ
答：
（1）P從a點滑動到C點過程中，系統產生的熱量為

Mm v 2 0

2(m+M)

-mgR；
（2）P所在位置的半徑與豎直方向的夾角為θ=arctgμ，Q的速度達到最大．

點評：本題是系統水平方向動量守恒和能量守恒的綜合題，關鍵要根據Q的受力情況，判斷出其在水平方向的合力為零時速度最大這個臨界條件．