Question

相距為L、質量均為m的兩小物塊A、B，靜止放在足夠長的水平面上，它們與水平面間的動摩擦因數均為μ=0.2．現在用一個大小為0.3mg的水平向右的恒力F推A，A開始向右運動，并與B發生多次彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，重力加速度為g，試求：
（1）第一次碰撞后B的速度大��；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運動時間；
（3）B運動的總路程．

Answer 1

分析：（1）第一次碰撞前，推力和滑動摩擦力做功，根據動能定理求解第一次碰撞前A的速度大小，由于發生彈性碰撞，A、B的動量和機械能均守恒，即可求得碰后B的速度大��；
（2）由于質量相等，兩個物體交換速度，根據牛頓第二定律和運動學公式分別研究第一次、第二次…第n次碰撞后B的速度大小，即可求得第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運動時間；
（3）總結出第n次碰后到第n+1次碰前B的運動位移，運用數學知識求解總路程．

解答：解：（1）A勻加速L，第一次碰前A的速度設為v_A1，由動能定理得：
  (F-μmg)L=

1

2

m

v

2 A1

-0①
解得 vA1=

gL 5

A與B發生第一次彈性碰撞，遵守動量守恒和機械能守恒，設碰后速度分別為v'_A1，v'_B1mv_A1=mv'_A1+mv'_B1②
 

1

2

m

v

2 A1

=

1

2

mv′A12+

1

2

mv′B12③
解得：v'_A1=0   v′B1=

gL 5

（2）第一次碰后，設經過t₁B停下，B和A位移分別為S_B1和S_A1
t1=

v′B1

μg

④
 SB1=

v ′ 2 B1

2μg

⑤
 SA1=

1

2

(

F-μmg

m

)

t

2 1

⑥
解得t1=

5L g

SB1=

L

2

 SA1=

L

4

由于S_B1＞S_A1，因此第2次碰前，B已經停下．設第2次碰前A的速度為v_A2
(F-μmg)

L

2

=

1

2

m

v

2 A2

-0⑦
A與B發生第2次彈性碰撞，遵守動量守恒和機械能守恒，碰后速度交換，設碰后速度分別為v'_A2，v'_B2
解得v'_A2=0v′B2=

gL 10

同理依此類推，歸納得
第n次碰后B的速度v′Bn=

gL 5×2n-1

=

2gL 5×2n

第n次碰后到第n+1次碰前B的運動時間tn=

v′Bn

μg

=

10L g×2n

由此得t5=

5L 16g

（3）第n次碰后到第n+1次碰前B的運動位移SBn=

v ′ 2 Bn

2μg

=

L

2n

SB=SB1+SB2+…+SBn=

L

2

+

L

22

+…+

L

2n

=

L 2

1- 1 2

=L
另解：最終AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B
解得S_B=L
答：
（1）第一次碰撞后B的速度大小為

gL 5

；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運動時間為

5L 16g

；
（3）B運動的總路程為L．

點評：本題是周期性碰撞類型，運用數學歸納法總結規律是關鍵．對于第3問也這樣求解：最終AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B解得S_B=L．