Question

如圖所示，靜放在水平面上的

3

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圓形（半徑為R）光滑管道ABC，C為最高點，B為最低點，管道在豎直面內．管道內放一小球，小球可在管道內自由移動，現用一裝置將小球鎖定在P點，過P點的半徑OP與豎直方向的夾角為θ．現對管道施加一水平向右的恒力F，同時解除對小球的鎖定，管道沿水平面向右做勻加速運動，小球相對管道仍保持靜止．經過一段時間后管道遇一障礙物突然停止運動，小球能到達管道的A點．重力加速度為g，小球大小及管道內釋不計．求．
（1）恒力作用下圓形管道運動的加速度；
（2）圓形管道從開始運動到突然停止過程中運動距離的可能值．

Answer 1

（1）小球受力如圖，由力的平行四邊形定則及牛頓第二定律得：
mgtanθ=ma；
解得a=gtanθ；
即為恒力作用下的圓形管道運動的加速度；
（2）設圓形管道在運動過程中突然停止前進的速度為v，由勻變速直線運動公式得：v²=2as；
圓形管道停止時，小球沿管道半徑方向的速度變為零，沿切線方向的速度保持不變，對速度v沿切向和徑向進行分解，則小球速度變為v′=vcosθ；
小球能運動到管道右側圓心上方至最高點C之間的區域則可返程到達A點，或從C點飛出做平拋運動到達A點；
若小球能運動到管道右側圓心上方至最高點C之間的區域，則由機械能守恒得：

1

2

m（vcosθ）²=mg（Rcosθ+h），其中0≤h＜R
聯立以上相關各式得：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

若小球從C點飛出做平拋運動到達A點，則由機械能守恒及平拋運動的規律得：
R=

1

2

gt²，R=v_Ct

1

2

m（vcosθ）²=mgR（1+cosθ）+

1

2

mv_c²
聯立以上相關各式得：s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ

圓形管道從開始運動到突然停止過程中運動距離的可能值為：

R

sinθ

≤s＜

2R(1+cosθ)

sin2θ

及s=

R(5+4cosθ)

2sin2θ