Question

如圖所示，一個光滑、絕緣水平高臺的右面空間中存在范圍足夠大且水平向左的勻強電場，高臺邊緣靜置一個帶電量為+q、質量為m的小球B，另有一個絕緣不帶電的小球A（大小與小球B相同，質量大于m）以初速度v₀向B運動，A與B發生彈性碰撞后水平進入電場，發生再次碰撞后落到水平地面．已知勻強電場的電場場強為E=

2mg

q

，重力加速度為g．（小球A、B碰撞過程中電荷不發生轉移）
（1）如果小球A的質量為3m，求：
①小球A、B發生彈性碰撞（首次碰撞）后各自的速度；
②小球A、B再次碰撞前運動過程中相距的最大距離；
③B小球在電場中與A小球再次碰撞前具有的動能；
（2）如果保持B的質量不變，改變A的質量，其它條件不變，A、B小球再次碰撞前運動過程中相距的最大距離及再次碰撞發生的高度是否發生變化？試證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）①小球A、B發生彈性碰撞的過程中動量守恒、動能守恒，根據動量守恒定律和機械能守恒定律求出碰后各自的速度大小．
②A球不帶電，所以出平臺后做平拋運動，在豎直方向做自由落體，水平為勻速運動； B球在豎直方向做自由落體運動，在水平方向做類豎直上拋運動（假定向右為上），所以兩球在豎直方向運動情況相同，始終保持在同一高度．當兩球水平速度相等時，相距最遠；也可以求出在時間t內兩球在水平方向上的位移，根據二次函數求極值的方法求出最大距離．
③兩球再次相碰時，在水平方向上的位移相等．根據運動學公式求出相遇的時間，從而求出豎直方向上位移，根據動能定理求出B的動能．
（2）如果保持B的質量不變，改變A的質量，其它條件不變，根據動量守恒定律和能量守恒定律求出碰后兩球的速度之差，看是否與小球的質量有關，從而根據運動學公式判斷再次碰撞前運動過程中相距的最大距離及再次碰撞發生的高度是否發生變化．

解答：解：（1）①A與B發生彈性碰撞   3mv₀=3mv₁+mv₂…①

1

2

×3m

v

2 0

=

1

2

×3m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

…②
聯立①②解得 v2=

3

2

v0，v1=

1

2

v0
②A球不帶電，所以出平臺后做平拋運動，在豎直方向做自由落體，水平為勻速運動； B球在豎直方向做自由落體運動，在水平方向做類豎直上拋運動（假定向右為上），所以兩球在豎直方向運動情況相同，始終保持在同一高度．x_A=v₁t…③
xB=v2t-

1

2

axt2…④
B球在水平方向上的加速度為 aBx=

Eq

m

=

2mg q q

m

=2g…⑤
所以：在飛行過程中A與B的距離為△x=xB-xA=(v2-v1)t -gt 2=v0t -g

t

2

△x=-(

g

t -

v0

2 g

)2+

v 2 0

4g

所以當t1=

v0

2g

時，△x有最大值為

v 2 0

4g

③再次發生碰撞時有x_A=x_B…⑥
聯立③④⑤⑥解得發生再次碰撞的時間t2=

v0

g

，xA=

v 2 0

2g

再次碰撞點離平臺的高度h=

1

2

gt22=

v 2 0

2g

…⑦
由動能定理mgh-EqxA=EB-

1

2

m

v

2 2

…⑧
解得EB=

5

8

m

v

2 0

（2）如果保持B的質量不變，改變A的質量，
A與B發生彈性碰撞m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂…⑨

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

…⑩
聯立⑨⑩解得v₂-v₁=v₀（與A、B小球質量無關）  
所以在飛行過程中A與B的距離為△x=v0t/1-g

t/

2 1

仍有當t/1=

v0

2g

時，△x有最大值為

v 2 0

4g

，A、B小球再次碰撞前運動過程中相距的最大距離不發生改變．
同理發生再次碰撞的時間始終為t2/=

v0

g

，所以再次碰撞點離平臺的高度為h=

1

2

gt22=

v 2 0

2g

，不發生改變，即再次碰撞發生一個固定高度．
答：（1）小球A、B發生彈性碰撞（首次碰撞）后各自的速度為

1

2

v0、

3

2

v0．
小球A、B再次碰撞前運動過程中相距的最大距離為

v 2 0

4g

．
B小球在電場中與A小球再次碰撞前具有的動能EB=

5

8

m

v

2 0

．
（2）A、B小球再次碰撞前運動過程中相距的最大距離及再次碰撞發生的高度不改變．

點評：本題綜合運用了動量守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律以及運動學公式，綜合性較強，對學生的能力要求較高，是道難題．