Question

8．如圖所示，豎直平面內的光滑金屬細圓環半徑為R，質量為m的帶孔小球穿于環上，同時有一長為R的細繩一端系于球上，另一端系于圓環最低點，繩上的最大拉力為2mg．當圓環以角速度ω繞豎直直徑轉動時，發現小球受到3個力的作用．則ω可能為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
• B． $\frac{3}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
• C． $\sqrt{\frac{5g}{R}}$
• D． $\sqrt{\frac{7g}{R}}$

Answer 1

分析 因為圓環光滑，所以這三個力肯定是重力、環對球的彈力、繩子的拉力，細繩要產生拉力，繩要處于拉升狀態，根據幾何關系及向心力基本格式求出剛好不受拉力時的角速度，此角速度為最小角速度，只要大于此角速度就受三個力．

解答 解：因為圓環光滑，所以這三個力肯定是重力、環對球的彈力、繩子的拉力，細繩要產生拉力，繩要處于拉升狀態，根據幾何關系可知，此時細繩與豎直方向的夾角為60°，當圓環旋轉時，小球繞豎直軸做圓周運動，向心力由三個力在水平方向的合力提供，其大小為：F=mω²r，根據幾何關系，其中r=Rsin60°一定，所以當角速度越大時，所需要的向心力越大，繩子拉力越大，所以對應的臨界條件是小球在此位置剛好不受拉力，此時角速度最小，需要的向心力最小，
對小球進行受力分析得：F_min=2mgsin60°，即2mgsin60°=m${ω}_{min}^{2}$Rsin60°解得：$\sqrt{\frac{2g}{R}}$，所以只要ω＞$\sqrt{\frac{2g}{R}}$就符合題意．
當繩子的拉力達最大時，角速度達最大；同理可知，最大角速度為：ω=$\sqrt{\frac{（4+2\sqrt{3}）g}{R}}$；故符合條件的只有B；
故選：B．

點評 本題主要考查了圓周運動向心力公式的應用以及同學們受力分析的能力，要求同學們能找出臨界狀態并結合幾何關系解題，難度適中．