Question

2．如圖所示，在正交坐標系xOy的第一、四象限內分別存在兩個大小相等、方向不同的勻強電場，兩組平行且等間距的實線分別表示兩個電場的電場線，每條電場線與x軸所夾的銳角均為60°．一質子從y軸上某點A沿著垂直于電場線的方向射入第一象限，僅在電場力的作用下第一次到達x軸上的B點時速度方向正好垂直于第四象限內的電場線，之后第二次到達x軸上的C點．求：
（1）質子在A點和B點的速度之比；
（2）OB與BC長度的比值．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子的運動軌跡，粒子從A到B做類平拋運動，將運動分解為垂直于電場和平行于電場方向，根據幾何關系求出質子在A點和B點的速度之比；
（2）粒子在電場中做類平拋運動，根據運動的合成與分解結合幾何關系求出OB和BC之比；

解答 解：（1）質子的運動軌跡如圖所示，在A、B兩點的速度分別為v₀、v，由題意知v與v₀的夾角為60⁰，
所以$\frac{v_0}{v}=cos{60^0}=\frac{1}{2}$
（2）設質子在電場中運動的加速度為a，從A運動到B經歷的時間為t₁．
OB=ON+NB
由幾何關系：ON=AMsin30°
NB=MBcos30°
沿垂直于v₀方向上：$AM=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
沿平行于v₀方向上：MB=v₀t₁
在B點：vsin60°=at₁
v₀=vcos60°
聯立上述方程解得：OB=$\frac{9{v}_{0}^{2}}{4a}$
設質子從B到C經歷時間為t₂，作如圖輔助線，

沿CP方向：BCsin60°=vt₂
沿BP方向：$BCcos60°=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
聯立求解：BC=$\frac{16{v}_{0}^{2}}{3a}$
所以：$\frac{OB}{BC}=\frac{27}{64}$
答：（1）質子在A點和B點的速度之比$\frac{1}{2}$；
（2）OB與BC長度的比值$\frac{27}{64}$

點評 本題關鍵是根據題目的意思分析粒子的運動情況，畫出運動的軌跡，找出幾何關系，畫輔助線是解題的重要手段．