Question

20．如圖所示．半徑R=0.4m的圓軌道上有一固定光滑斜面AB，半徑OB豎直，斜面AB與水平面BC間用一根短的光滑圓弧平滑連接，B、C兩點間距L=0.5m，P點位于C點正上方h=8R處，在一小球從P點開始做自由落體運動的同時，有一小滑塊從斜面頂端A點由靜止開始沿斜面下滑，經過B點后沿水平面做勻減速運動，在C點剛停下時恰好與小球相撞．小球和滑塊均可視為質點，取重力加速度g=10m/s²．
（1）小球從p點運動到C點的時間t和滑塊在斜面AB上運動的時間t₁；
（2）滑塊經過B點時的速率v以及斜面AB的傾角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據自由落體運動的規律求P到C的時間，根據牛頓第二定律求滑塊在斜面的加速度，再由位移時間關系式求滑塊在斜面AB上運動的時間
（2）求出滑塊從B點運動到C點的時間，由位移關系式求出B點的速度，由速度時間關系得出斜面AB的傾角θ的正弦值

解答 解：（1）小球從p點運動到C點做自由落體運動，$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×8R}{g}}=\sqrt{\frac{16×0.4}{10}}s=0.8s$
根據牛頓第二定律得滑塊在斜面上運動的加速度大小${a}_{1}^{\;}=gsinθ$
滑塊在斜面AB上做勻加速運動，則$2Rsinθ=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$
得${t}_{1}^{\;}=2\sqrt{\frac{R}{g}}=0.4s$
（2）滑塊從B點運動到C點的時間${t}_{2}^{\;}=t-{t}_{1}^{\;}=0.4s$
則由勻變速直線運動公式得$L=\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}$
得v=2.5m/s
滑塊在斜面AB上做勻加速運動，則$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
得$sinθ=\frac{5}{8}$
答：（1）小球從p點運動到C點的時間t為0.8s和滑塊在斜面AB上運動的時間${t}_{1}^{\;}$位0.4s；
（2）滑塊經過B點時的速率v為2.5m/s以及斜面AB的傾角θ的正弦值為$\frac{5}{8}$．

點評 解決本題時要知道加速度是聯系力和運動的橋梁，是牛頓第二定律和運動學公式結合應用時必求的量，同時要抓住自由落體運動和滑塊運動的同時性，研究兩個物體運動時間關系．