Question

（2009?湖北模擬）如圖所示，質量為m₃=3kg的滑道靜止在光滑的水平面上，滑道的AB部分是半徑為R=0.15m的四分之一圓弧，圓弧底部與滑道水平部分相切，滑到水平部分右端固定一個輕彈簧．滑道除CD部分粗糙外其他部分均光滑．質量為m₂=2kg的物體2（可視為質點）放在滑道的B點，現讓質量為m₁=1kg的物體1（可視為質點）自A點由靜止釋放．兩物體在滑道上的C點相碰后粘為一體（g=10m/s²）．
（1）求物體1從釋放到與物體2相碰的過程中，滑道向左運動的距離；
（2）若CD=0.1m，兩物體與滑道的CD部分的動摩擦因數都為μ=0.1，求在整個運動過程中，彈簧具有的最大彈性勢能；
（3）物體1、2最終停在何處．

Answer 1

分析：（1）物體1從釋放到與物體2相碰前的過程中，物體2由于不受摩擦，靜止不動．系統水平不受外力，動量守恒，用位移與時間的比值表示平均速度，根據動量守恒列式求出滑道向左運動的距離；
（2）物體1從釋放到與物體2相碰前的過程中，系統中只有重力做功，系統的機械能守恒，根據機械能守恒和動量守恒列式，可求出物體1、2碰撞前兩個物體的速度；物體1、2碰撞過程，根據動量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物體1、2向右運動，滑道向左運動，彈簧第一次壓縮最短時，根據系統的動量守恒得知，物體1、2和滑道速度為零，此時彈性勢能最大．根據能量守恒定律求解在整個運動過程中，彈簧具有的最大彈性勢能．
（3）根據系統的能量守恒列式，即可求出物體1、2相對滑道CD部分運動的路程s，從而確定出物體1、2最終停在何處．

解答：解：（1）m₁從釋放到與m₂相碰撞過程中，m₁、m₃組成的系統水平方向動量守恒，設m₁水平位移大小s₁，m₃水平位移大小s₃，有：
0=m₁s₁-m₃s₃
又s₁=R
可以求得s3=

m1s1

m3

=0.05m
（2）設m₁、m₂剛要相碰時物體1的速度v₁，滑道的速度為v₃，由機械能守恒定律有m1gR=

1

2

m1v12+

1

2

m3v32
由動量守恒定律有0=m₁v₁-m₃v₃
物體1和物體2相碰后的共同速度設為v₂，由動量守恒定律有m₁v₁=（m₁+m₂）v₂
彈簧第一次壓縮最短時由動量守恒定律可知物體1、2和滑道速度為零，此時彈性勢能最大，設為E_Pm．從物體1、2碰撞后到彈簧第一次壓縮最短的過程中，由能量守恒有

1

2

(m1+m2)v22+

1

2

m3v32-μ(m1+m2)g

.

CD

=EPm
聯立以上方程，代入數據可以求得，E_Pm=0.45J
（3）分析可知物體1、2和滑道最終將靜止，設物體1、2相對滑道CD部分運動的路程為s，由能量守恒有

1

2

(m1+m2)v22+

1

2

m3v32=μ(m1+m2)gs
代入數據可得s=

10

8

m=0.25m
所以m₁、m₂最終停在CD的中點處
答：
（1）物體1從釋放到與物體2相碰的過程中，滑道向左運動的距離是0.05m；
（2）若CD=0.1m，兩物體與滑道的CD部分的動摩擦因數都為μ=0.1，求在整個運動過程中，彈簧具有的最大彈性勢能是0.45J；
（3）m₁、m₂最終停在CD的中點處．

點評：本題是系統水平方向動量守恒和能量守恒的問題，求解兩物體間的相對位移，往往根據能量守恒研究．