Question

在豎直面內有一光滑水平直軌道和一光滑半圓形軌道，二者在半圓的一個端點B相切，如圖所示，半圓形軌道的另一端點為C，半徑為R。在直軌道上距離B為x的A點，有一可看作質點的質量為m的小球處于靜止狀態。現用水平恒力將小球推到B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運動到C處后又落到水平面上。求：

（1）若小球正好落到出發點A處，在這種情況下：

①用x和給出的已知量來表達推力對小球所做的功；

②x取何值時，水平恒力做功最小？最小值為多少？

（2）在任意情況下，x取任意值，求小球在B處和C處對軌道的壓力大小之差？

 

Answer 1

（1）①

②x=2R時，

（2）6mg     

解析:（1）若正好落到出發點A處，則小球由C到A做平拋運動。

①設小球在C處的速度為v_C，由運動學知識知：

在水平方向上有x=v_Ct                                                                                                    （1分）

在豎直方向上有y=2R=                                                                                         （1分）

對小球從A到C由動能定理得                                           （1分）

聯立解得：，                                                               （1分）

②當W_F有最小值時，小球恰能到達C處（設此時小球的速度為v₀），有     （1分）

又小球仍能落到A處，由v₀²=v_C²可得x=2R                                                                    （2分）

則                                                                                                             （1分）

（2）當小球在B處時，                                                                     （1分）

當小球在C處時，                                                                              （1分）

小球從B到C由機械能守恒得                                            （1分）

由以上三式可得△F=F_B-F_C=6mg                                                                                           （1分）