Question

在豎直面內有一光滑水平直軌道和一光滑半圓形軌道，二者在半圓的一個端點B相切，如圖所示，半圓形軌道的另一端點為C，半徑為R．在直軌道上距離B為x的A點，有一可看作質點的質量為m的小球處于靜止狀態．現用水平恒力將小球推到B處后撤去恒力，小球沿半圓軌道運動到C處后又落到水平面上．求：
（1）若小球正好落到出發點A處，在這種情況下：
①用x和給出的已知量來表達推力對小球所做的功；
②x取何值時，水平恒力做功最小？最小值為多少？
③x取何值時，所用水平恒力最小？最小值為多少？
（2）在任意情況下，x取任意值，求小球在B處和C處對軌道的壓力大小之差．

Answer 1

分析：（1）分析小球運動的過程，可發現小球由A到B做勻加速直線運動，B到C做曲線運動，從C點開始做平拋運動；由平拋運動的規律可求得C點的速度，由運動定理可求得推力所做的功；當推力做功最小時，小球應能恰好通過C點，此時重力充當向心力，由向心力公式可求得最小速度，即可解得最小位移，求出最小功；
（2）由向心力公式分別求得BC處的壓力表達式，由機械能守恒可得出速度關系，即可求得壓力之差．

解答：解：（1）小球正好落到A點，小球由C到A做平拋運動，
①水平方向有：X=V_Ct
豎直方向有：y=2R=

1

2

gt²
聯立解得：V_C²=

gX2

4R

；
對小球從A到C，由動能定理得：
W_F-mg2R=

1

2

mV_C²
解得：W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
推力對小球做的功為：W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
②當 W_F有最小值時，小球應恰能到達C處（設此時小球的速度為V₀ ），此時小球在C處只受重力作用，由牛頓第二定律得：
mg=m

v02

R

又因為小球仍能落到A處，所以V_C²=

gX2

4R

仍成立，即：V₀²=V_C²；
即：gR=

gX2

4R

，
解得：X=2R；
代入第一問求得：W_F=2mgR+m

gX2

8R

=2.5mgR；
推力做的最小功為2.5mgR；
③根據題意可知，當2mgR=m

gX2

8R

時，恒力F最小，解得：x=4R，
即：W_F=Fx=2mgR+2mgR
解得：F=mg
（2）由牛頓第二定律可知，小球在B處時有：F_B-mg=m

vB2

R

小球在C處時有：F_C+mg=m

vC2

R

；
由B到C機械能守恒，則有：

1

2

mV_B²-

1

2

mV_C²=mg2R
解得：F_B-F_C=6mg；
小球在B處與C處壓力之差為6mg，和X的取值無關．
答：（1）①推力對小球所做的功的表達式為W_F=2mgR+m

gX2

8R

；
  ②．當X=2R，推力做的最小功為2.5mgR；
③．當X=4R時恒力最小為mg；
（2）小球在B處和C處對軌道的壓力大小之差為6mg

點評：本題綜合考查了動能定理、機械能守恒、向心力公式及牛頓第二定律的應用，解決此類問題應沉著冷靜，認真分析物體的運動過程，將其分解為我們常見的物理學模型，如平拋、自由落體、圓周運動等，即可利用常見公式進行解答．