【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，點
在橢圓上，滿足
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）直線
過點
，且與橢圓只有一個公共點，直線
與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點
，
，與直線
交于點
（介于，兩點之間）.
（i）求證：
；
（ii）是否存在直線，使得直線、、
、
的斜率按某種順序能構成等比數列？若能，求出的方程；若不能，請說明理由.
【答案】（1）
（2）（i）見解析（ii）
【解析】試題分析：
（1）設
，由題意可得
，所以
. 結合橢圓的定義可得
. 則橢圓C的標準方程為.
（2）(ⅰ)設
方程為
，與聯立可得
. 則
的斜率是
.
聯立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理可得
，
和
中，由正弦定理得
，
，結合幾何關系可得
成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知，
，
，
.假設存在直線，滿足題意.不妨設
，
，
若
按某種排序構成等比數列，則
，則
，此時直線
與平行或重合，與題意不符，則不存在直線滿足題意.
試題解析：
（1）設，
則
=
，所以.
因為
=4，所以. 
故橢圓C的標準方程為.
（2）(ⅰ)設方程為，與聯立，消
得
, 由題意知
，解得.
因為直線與的傾斜角互補，所以的斜率是.
設直線方程：
，
，聯立
，整理得
，由
，得
，
，
；
直線
、的斜率之和
所以
關于直線
對稱，即
，
在和中，由正弦定理得
，，
又因為，
所以
故成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知，， ，.
假設存在直線，滿足題意.不妨設，，若按某種排序構成等比數列，設公比為
，則或
或
.
所以，則，此時直線與平行或重合，與題意不符，
故不存在直線，滿足題意.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l： 
(t為參數)與曲線C相交于M，N兩點．
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求實數a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于實數x的一元二次方程
．
Ⅰ
若a是從區間
中任取的一個整數，b是從區間
中任取的一個整數，求上述方程有實根的概率．
Ⅱ若a是從區間任取的一個實數，b是從區間任取的一個實數，求上述方程有實根的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號 | 分組 | 頻數 | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| a |
|
第3組 |
| 30 | b |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
合計 | 100 |
| |
Ⅰ
求出頻率分布表中a，b的值，再在答題紙上完成頻率分布直方圖；
Ⅱ根據樣本頻率分布直方圖估計樣本成績的中位數；
Ⅲ高校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，再從6名學生中隨機抽取2名學生由A考官進行面試，求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黑板上寫有,1，2，…，666，這666個正整數，第一步劃去最前面的八個數：1，2，…，8，,并在666后面寫上1，2，…，8的和36；第二步再劃去最前面的八個數：9，10，…，16，并在最后面寫上9，10，…，16的和100；如此繼續下去（即每一步劃去最前面的八個數，并在最后寫上劃去的八個數的和）.
（1）問：經過多少步后，黑板上只剩下一個數？
（2）當黑板上只剩下一個數時，求出在黑板上出現過的所有數的和（如果一個數多次出現需重復計算）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,在四棱錐
中,底面
為直角梯形, 
,平面
底面
, 
為
中點, 
是棱
上的點, 
.
（Ⅰ）若點
是棱
的中點,求證: 
平面
;
（Ⅱ）求證:平面
平面
;
（Ⅲ）若二面角
為
,設
,試確定
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】時下，租車已經成為新一代的流行詞，租車自駕游也慢慢流行起來，某小車租車點的收費標準是，不超過2天按照300元計算；超過兩天的部分每天收費標準為100元（不足1天的部分按1天計算）．有甲乙兩人相互獨立來該租車點租車自駕游（各租一車一次），設甲、乙不超過2天還車的概率分別為
；2天以上且不超過3天還車的概率分別
；兩人租車時間都不會超過4天．
（1）求甲所付租車費用大于乙所付租車費用的概率；
（2）設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量
，求
的分布列與數學期望
．
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