Question

（03年全國卷）（22分）一傳送帶裝置示意圖，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切。現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速度為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h。穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經BC段的微小滑動）。已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目N個。這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。求電動機的平均功率。

Answer 1

解析：

以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v0，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速直線運動，設這段路程為s，所用的時間為t，加速度為a，則對小貨箱有

    s=at²                                                        ①

 

v₀=at                                                          ②

在這段時間內，傳送帶運動的路程為

s₀=v₀t                                                          ③

由以上各式得

s₀=2s                                                           ④

用f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小箱做功為

 

A=fs=m                                                                                            ⑤

 

傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功

 

A₀=fs₀=2×m                                                                                     ⑥

 

兩者之差就是克服摩擦力做功發出的熱量

 

Q=m                                                                                                   ⑦

 

可見，在小箱加速運動過程中，獲得的動能與發熱量相等。

 

T時間內，電動機輸出的功為

 

W=T                                                                                                     ⑧

 

此功用于增加小箱的動能、勢能以及克服摩擦力發熱，即

 

W=Nm+Nmgh+NQ                                                                            ⑨

 

已知相鄰兩小箱的距離為L，所以

 

v₀T=NL                                                                                                   ⑩

聯立⑦⑧⑨⑩式，得

 

=