Question

20．如圖所示，兩個水平放置的帶電平行金屬板間，一長為l的絕緣細線一端固定在O點，另一端栓這一個質量為m、帶有一定電量的小球，小球原來靜止，當給小球某一沖量后，它可繞O點在豎直平面內做勻速圓周運動，若兩板間電壓增大為原來的4倍，求：
（1）要是小球從C點開始在豎直平面內做圓周運動，開始至少要給小球多大沖量？
（2）在運動過程中細線所受的最大拉力．

Answer 1

分析 （1）小球原來做勻速圓周運動，則有mg=qE；當電壓增大到電壓增大到原來的4倍，兩極板間的電場強度變為E′=4E，在C點必須給C足夠的速度，讓其能在電場力和重力作用下做圓周運動，此時繩的拉力為0時，小球圓周運動的速度最小，由此可求C點的初速度；再由動量定理求沖量．
（2）由C到D小球做加速運動，速度一直增大，在D點速度最大，此時繩的拉力最大，由動能定理可得D點的速度，進而可得繩的最大拉力．

解答 解：（1）小球開始做勻速圓周運動，故有：mg=qE，
當電壓增大到原來的4倍，故兩極板間的電場強度變為：E′=4E，
在C點繩的拉力為0時，小球做圓周運動的速度最小：
 qE′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{l}$，
解得：v_C=$\sqrt{3gl}$
根據動量定理得：I=mv_C=m$\sqrt{3gl}$．
（2）由C到D，依據動能定理可得：
 qE′•2l-mg•2l=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_D=$\sqrt{15gl}$
小球運動過程中細繩所受的最大拉力在D位置，此時繩的拉力和重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
  T+mg-qE′=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
解得：T=18mg．
答：
（1）要是小球從C點開始在豎直平面內做圓周運動，開始至少要給小球m$\sqrt{3gl}$的沖量．
（2）在運動過程中細線所受的最大拉力是18mg．

點評 該題不同于一般的繩桿模型問題，這里涉及的不是小球能不能到最高點的問題，而是小球一開始能不能做圓周運動的問題，電場變化后，若不給小球初速度，小球就會做勻加速直線運動．