Question

在豎直平面內有一圓形絕緣軌道，半徑R=1m，處于垂直于軌道平面向里的勻強磁場中，一質量為m=1×10^-3kg，帶電量為q=-3×10^-2C的小球，可在內壁滑動．現在最低點處給小球一個水平初速度v₀，使小球在豎直平面內逆時針做圓周運動，圖甲是小球在豎直平面內做圓周運動的速率v隨時間變化的情況，圖乙是小球所受軌道的彈力F隨時間變化的情況，已知小球能有兩次到達圓形軌道的最高點．結合圖象所給數據，g取10m/s²．求：
（1）磁感應強度的大小．
（2）小球從開始運動至圖甲中速度為2m/s的過程中，摩擦力對小球做的功．

Answer 1

分析：（1）從甲圖可知，小球第二次最高點時，速度大小為4m/s，而由乙圖可知，此時軌道與球間的彈力為零，故由重力與洛倫茲力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式，即可求得B．
（2）從圖乙可知，小球第一次過最低點時，軌道與球之間彈力為F=8.0×10^-2N，根據牛頓第二定律，列式求解初速度v₀．再根據動能定理列式求解摩擦力對小球做的功．要注意洛倫茲力不做功．

解答：解：（1）從甲圖可知，小球第二次過最高點時，速度大小為v=2m/s，而由乙圖可知，此時軌道與球間彈力為零，
則得 mg-qvB=m

v2

R

                                 
代入數據，得B=0.1T                                    
（2）從乙圖可知，小球第一次過最低點時，軌道與球面之間的彈力為F=8.0×10^-2N，
根據牛頓第二定律，F-mg-qv₀B=m

v 2 0

R

      
代入數據，得v₀=7m/s                                   
以上過程，由于洛侖茲力不做功，由動能定理可得：
-mg2R+W_f=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²                                
代入數據得：W_f=-2.5×10^-3J                           
答：
（1）磁感應強度的大小是0.1T．
（2）小球從開始運動至圖甲中速度為2m/s的過程中，摩擦力對小球做的功為-2.5×10^-3J．

點評：本題解題關鍵是讀取圖象的信息，再確定小球向心力的來源，根據牛頓第二定律處理這類問題．運用動能定理求變力做功也是常用的方法．