Question

2．如圖所示為一繞地球運行的人造地球衛星運行軌跡，衛星近地點P近似認為貼近地球表面，遠地點Q距地面的高度為h，已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，則（　　）

• A． 該衛星的運動周期為2π$\sqrt{\frac{（R+\frac{h}{2}）^{2}}{g{R}^{2}}}$
• B． 該衛星的發射速度大于第一宇宙速度
• C． 該衛星在P點的速度大小為$\sqrt{gR}$
• D． 該衛星在P點的加速度大于地球表面的重力加速度g

Answer 1

分析 求出衛星橢圓軌道的半長軸，抓住橢圓的周期與圓軌道半徑等于半長軸的周期相等，結合萬有引力提供向心力求出周期．在P點，衛星的速度大于第一宇宙速度，做離心運動．根據牛頓第二定律，結合萬有引力等于重力比較衛星在P點的加速度與地球表面重力加速度的大小關系．

解答 解：A、近地衛星的周期為${T}_{0}^{\;}$，由$mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{0}^{2}}R$，得${T}_{0}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$=$2π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$，圖示衛星的周期為T，半長軸為$r=（R+\frac{h}{2}）$，由開普勒第三定律得$\frac{{R}_{\;}^{3}}{{T}_{0}^{2}}=\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}$，解得$T=2π\sqrt{\frac{（g+\frac{h}{2}）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，故A正確；
C、因衛星的軌道為橢圓，故衛星的發射速度大于$\sqrt{gR}$，故C錯誤；
B、發射速度大于第一宇宙速度，故B正確；
D、由萬有引力定律和牛頓第二定律知衛星在P點的加速度在P點，加速度a=$\frac{G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}}{m}=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，地球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$，即P點加速度等于地球表面的重力加速度，故D錯誤；
故選：AB

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，運用開普勒第三定律必須對于同一個中心天體．