Question

4．如圖所示，半徑分別為R=2m和r=1m的甲、乙兩圓形軌道放置在同一豎直面內，斜面與水平軌道由一小段圓弧軌道相連，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連，小球與CD段間的動摩擦因數為μ=0.25，其余各段均光滑．現有一小球從光滑斜面上的A點由靜止釋放，那么：
（1）為了使小球能通過甲軌道的最高點，試求A點離水平軌道CD的高度H至少為多少；
（2）若小球以第（1）問所求最小高度由靜止從A點滑下，要使小球能滑上乙軌道而不脫離軌道，CD段的長度應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過甲軌道的最高點時由重力充當向心力，由牛頓第二定律可求得最高點的最小速度．小球從A運動到甲軌道最高點的過程中只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律求出H的最小值．
（2）要使小球能滑上乙軌道而不脫離軌道，小球在乙軌道最高點的速度不小于$\sqrt{gr}$，再結合動能定理求CD的長度應滿足的條件．

解答 解：（1）小球剛好通過甲軌道的最高點時，由牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
由A到甲軌道的最高點，由機械能守恒定律有：mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv²　②
由以上兩式可得：H=2.5R=5m
（2）要使小球能滑上乙軌道而不脫離軌道，設CD的長度最大為x，此時小球恰好通過乙軌道的最高點，小球通過乙軌道最高點的最小速度為v′，則有
  mg=$m\frac{v{′}^{2}}{r}$，v′=$\sqrt{gr}$
根據動能定理得：mg（H-2r）-μmgx=$\frac{1}{2}$mv′²
解得：x=$\frac{5（R-r）}{2μ}$=$\frac{5×（2-1）}{2×0.25}$=10m
故要使小球能滑上乙軌道而不脫離軌道，CD段的長度應滿足的條件是x≤10m
答：（1）為了是小球能通過甲軌道的最高點，A點離水平軌道CD的高度H至少為5m．
（2）要使小球能滑上乙軌道而不脫離軌道，CD段的長度應滿足的條件是x≤10m．

點評 本題綜合運用了動能定理和圓周運動向心力問題，關鍵要掌握圓周運動最高點的臨界條件，運用動能定理和牛頓第二定律結合解題．運用動能定理時要靈活選取研究的過程．