Question

1．如圖所示，傾斜角θ=30°的光滑傾斜導體軌道（足夠長）與光滑水平導體軌道連接．軌道寬度均為L=1m，電阻忽略不計．勻強磁場I僅分布在水平軌道平面所在區(qū)域，方向水平向右，大小B₁=1T；勻強磁場II僅分布在傾斜軌道平面所在區(qū)域，方向垂直于傾斜軌道平面向下，大小B₂=1T．現(xiàn)將兩質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻均為R=0.5Ω的相同導體棒ab和cd，垂直于軌道分別置于水平軌道上和傾斜軌道上，并同時由靜止釋放．取g=10m/s²．
（1）求導體棒cd沿斜軌道下滑的最大速度的大小；
（2）若已知從開始運動到cd棒達到最大速度的過程中，ab棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.45J，求該過程中通過cd棒橫截面的電荷量；
（3）若已知cd棒開始運動時距水平軌道高度h=10m，cd棒由靜止釋放后，為使cd棒中無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化，將cd棒開始運動的時刻記為t=0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度為B₀=1T，試求cd棒在傾斜軌道上下滑的這段時間內(nèi)，磁場Ⅱ的磁感應強度B隨時間t變化的關系式．

Answer 1

分析 由左、右手定則知道，當cd棒下滑時產(chǎn)生由d向c的電流，而ab棒受到豎直向下的安培力，這樣ab棒始終靜止在水平軌道上．
（1）下滑過程中當cd受到的合力為零時，速度達到最大，結(jié)合E=BLv，歐姆定律、安培力公式代入平衡條件就能求出最大速度．
（2）由能量守恒定律可以求出減少的機械能，從而減少的重力勢能求出，下滑的距離x也求出，磁通量的變化量求出，用平均值方法求出電荷量．
（3）由于cd中無感應電流，則不受安培力，所以cd以gsinθ的加速度下滑，從而下滑的距離表達式可以寫出來，由于△∅=0，所以先表示出初始狀態(tài)的磁通量，再表示出經(jīng)過t后的磁通量，兩者相等，就能寫出B隨時間t的關系式．

解答 解：（1）cd棒勻速運動時速度最大，設為v_m，棒中感應電動分為E，電流為I，則
      E=BLv_m，$I=\frac{E}{2R}$
   由平衡條件得：mgsinθ=BIL 
   代入數(shù)據(jù)解得：v_m=1m/s
（2）設cd從開始運動到達最大速度的過程中，經(jīng)過的時間為t，通過的距離為x，cd棒中平均感應電動勢E₁，
  平均電流為I₁，通過cd棒橫截面的電荷量為q，由能守恒定律得：
      $mgxsinθ=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+2Q$，
    代入得到x=1m，
   所以通過cd棒的電荷量：
     $q={I}_{1}t=\frac{{E}_{1}}{2R}t=\frac{\frac{{B}_{2}Lx}{t}}{2R}t=\frac{{B}_{2}Lx}{2R}=\frac{1×1×1}{2×0.5}$=1C
（3）設cd棒開始運動時穿過回路的磁通量為∅₀，cd棒在傾斜軌道上下滑的過程中，設加速大小為a，
 經(jīng)過時間t通過的距離為x₁，穿過回路的磁通量為Φ，cd棒在傾斜軌道上下滑時間為t₀，則：
∅₀=${B}_{0}L\frac{h}{sinθ}$  
   加速度：a=gxinθ  
   位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   
  而 Φ=$BL（\frac{h}{sinθ}-{x}_{1}）$   
  當cd棒下滑到最低點時有：
    $\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$  
  解得：${t}_{0}=\sqrt{8}s$
為使cd棒中無感應電流，必須有：∅₀=Φ  
解得$B=\frac{8}{8-{t}^{2}}$   （$t＜\sqrt{8}s$  ）
答：（1）導體棒cd沿斜軌道下滑的最大速度的大小為1m/s．
（2）若已知從開始運動到cd棒達到最大速度的過程中，ab棒產(chǎn)生的焦耳熱Q=0.45J，該過程中通過cd棒橫截面的電荷量為1C．
（3）若已知cd棒開始運動時距水平軌道高度h=10m，cd棒由靜止釋放后，為使cd棒中無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化，將cd棒開始運動的時刻記為t=0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度為B₀=1T，cd棒在傾斜軌道上下滑的這段時間內(nèi)，磁場Ⅱ的磁感應強度B隨時間t變化的關系式為$B=\frac{8}{8-{t}^{2}}$   （$t＜\sqrt{8}s$  ）．

點評 本題要注意的是：①看起來是雙桿問題，但由于ab受到向下的安培力，則ab始終靜止，實際是單桿問題．②cd下滑又要求無感應電流，則任意時間t回路的磁通量相等，分別表示出初、末狀態(tài)的磁通量，則B隨時間t的關系式就能求出．