Question

15．如圖為某種魚餌自動投放器的裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口C處切線水平，AB管內有原長為R、下端固定的輕質彈簧．在彈簧上端放置一粒質量為m的魚餌，解除鎖定后彈簧可將魚餌彈射出去．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，此時彈簧的彈性勢能為6mgR （g為重力加速度）．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，求：
（1）魚餌到達管口C時的速度大小v₁：
（2）魚餌到達管口C時對管子的作用力大小和方向：
（3）已知地面比水面高出1.5R，若豎直細管的長度可以調節，圓孤彎道管BC可隨豎直細管-起升降．求魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離L_max．

Answer 1

分析 （1）根據能量守恒定律求出魚餌到達管口C時的速度大小．
（2）根據牛頓第二定律求出管口對魚餌的作用力大小，從而結合牛頓第二定律求出魚餌對管子的作用力大小和方向．
（3）根據機械能守恒定律求出平拋運動的初速度，結合平拋運動的規律求出水平位移的表達式，通過數學知識得出魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離．

解答 解：（1）魚餌到達管口C的過程中彈簧的彈性勢能轉化為魚餌的重力勢能和動能，
有：$6mgR=2.5mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{7gR}$．
（2）設C處管子對魚餌的作用力向下，大小設為F，
根據牛頓第二定律有：$mg+F=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得F=6mg，
由牛頓第三定律可得魚餌對管子的作用力F′=6mg，方向向上．
（3）設AB長度為h，對應平拋水平距離為x，
由機械能守恒定律有：$6mgR=mg（R+h-0.5R）+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由平拋運動的規律得，x=vt，$2.5R+h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得x=$\sqrt{2g（5.5R-h）}\sqrt{\frac{2（2.5R+h）}{g}}$=$2\sqrt{（5.5R-h）（2.5R+h）}$，
當h=1.5R時，x的最大值x_max=8R，
則L_max=x_max+R=9R．
答：（1）魚餌到達管口C時的速度大小為$\sqrt{7gR}$；
（2）魚餌到達管口C時對管子的作用力大小為6mg，方向向上；
（3）魚餌到達水面的落點與AB所在豎直線OO′之間的最大距離為9R．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程以及機械能守恒定律的應用，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律是解決本題的關鍵．