Question

有一宇宙飛船到了某行星附近（該行星沒有自轉運動），以速度v繞行星表面做勻速圓周運動，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則下列結論正確的是（　　）

• A、該行星的半徑為

  vT

  2π

• B、該行星的平均密度為

  3π

  GT2

• C、該行星的質量為

  2v3T

  gπ

• D、該行星表面的自由落體加速度為

  2πv

  T

Answer 1

分析：近地飛行的飛船軌道半徑等于行星的軌道半徑，根據萬有引力提供圓周運動的向心力可以求出行星的質量，再根據球的體積公式求出體積而求出行星的密度，該行星表面的重力加速度即為近地飛行飛船的向心加速度，根據給出的周期和線速度可以求出向心加速度的表達式．

解答：解：A、因為近地飛船的飛行半徑等于星球的半徑，因為已知飛船的周期和線速度，由v=

2πr

T

得：r=

vT

2π

，故A正確；
B、由萬有引力提供圓周運動向心力知：G

mM

r2

=mr(

2π

T

)2
星球的質量為：M=

4π2r3

GT2

又星球的體積V=

4

3

πr3可知星球的密度為：ρ=

M

V

=

4π2r3 GT2

4 3 πr3

=

3π

GT2

，故B正確；
C、由G

mM

r2

=mr(

2π

T

)2
得星球的質量為：M=

4π2r3

GT2

代入A中r=

vT

2π

可得該行星的質量為：M=

v3T

2πG

，故C錯誤；
D、該星球表面自由落體加速度即為近地飛船的向心加速度，所以有：a=

v2

r

=

v2

vT 2π

=

2πv

T

，故D正確．
故選：ABD．

點評：掌握近地飛行的航天器由萬有引力提供向心力，能據此計算中心天體的質量是解決本題的關鍵．