Question

如圖所示，位于豎直平面內的固定半徑為R的光滑圓環軌道，圓環軌道與水平面相切于M點，與豎直墻相切于A點，豎直墻上另一點B與M的連線和水平面的夾角為60⁰，C是圓環軌道的圓心，D是圓環上與M靠得很近的一點（DM遠小于CM）．已知在同一時刻：a、b兩球分別由A、B兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道運動到M點；c球由C點自由下落到M點；d球從D點靜止出發沿圓環運動到M點．則a、b、c、d四個小球最先到達M點的球是

 

球．重力加速度取為g，d球到達M點的時間為

 

．

Answer 1

分析：對于abc小球，根據幾何關系分別求出各個軌道的位移，根據牛頓第二定律求出加速度，再根據勻變速直線運動的位移時間公式求出運動的時間，從而比較出到達M點的先后順序；對于D球，單擺模型．

解答：解：對于AM段，位移x₁=

2

R，加速度a₁=

mgsin45°

m

=gsin45°=

2

2

g，根據x=

1

2

a₁t₁²得，t₁=

2x1 a1

=2

R g

．
對于BM段，位移x₂=2R，加速度a₂=gsin60°=

3

2

g，由x₂=

1

2

a₂t₂²得，t₂=

2x2 a2

=

8R 3 g

．
對于CM段，位移x₃=R，加速度a₃=g，由x₃=

1

2

a₃t₃²得，t₃=

2x3 a3

=

2R g

．
對于D小球，做類似單擺運動，t4=

T

4

=

π

2

R g

．
知t₃最小；
故答案為：t₃，

π

2

R g

．

點評：解決本題的關鍵根據牛頓第二定律求出各段的加速度，運用勻變速直線運動的位移時間公式和單擺周期公式進行求解．