Question

9．如圖甲，間距L=1.0m的平行長直導軌MN、PQ水平放置，兩導軌左端MP之間接有一阻值為R=0.1Ω的定值電阻，導軌電阻忽略不計．一導體棒ab垂直于導軌放在距離導軌左端d=1.0m，其質量m=0.1kg，接入電路的電阻為r=0.1Ω，導體棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.1，整個裝置處在范圍足夠大的豎直方向的勻強磁場中．選豎直向下為正方向，從t=0時刻開始，磁感應強度B隨時間t的變化關系如圖乙所示，導體棒ab一直處于靜止狀態．不計感應電流磁場的影響，當t=3s時，突然使ab棒獲得向右的速度v₀=10m/s，同時在棒上施加一方向水平、大小可變化的外力F，保持ab棒具有大小恒為a=5m/s²方向向左的加速度，取g=10m/s²．

（1）求前3s內電路中感應電流的大小和方向．
（2）求ab棒向右運動且位移x₁=6.4m時的外力F．
（3）從t=0時刻開始，當通過電阻R的電量q=5.7C時，ab棒正在向右運動，此時撤去外力F，且磁場的磁感應強度大小也開始變化（圖乙中未畫出），ab棒又運動了x₂=3m后停止．求撤去外力F后電阻R上產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）由圖b的斜率讀出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第電磁感應定律求出回路中感應電動勢，由歐姆定律求解感應電流的大小，根據楞次定律判斷感應電流的方向．
（2）t=3s后，ab棒做勻變速運動，位移s₁=6.4m時，由公式v²-${v}_{0}^{2}$=2as求出速度大小，由安培力公式F=BIL和感應電動勢公式E=BLv、歐姆定律求出安培力的大小，再由牛頓第二定律求解外力F．
（3）由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式結合求出3s后到撤去外力F時導體棒運動的位移s，再運動學公式和動能定理結合求解熱量．

解答 解：（1）前3s內，根據圖象可知，$\frac{△B}{△t}=\frac{0.2}{2}T/s=0.1T/s$，
I=$\frac{E}{R+r}$，E=$\frac{△BS}{△t}$，S=Ld，
聯立解得：I=0.5A，
根據楞次定律可知，電路中的電流方向為a→b→P→M→a，
（2）設ab棒向右運動且位移x₁=6.4m時，速度為v₁，外力F方向水平向左，則
F+F_安+μmg=ma，
F_安=BIL，
E=BLv₁，
而${v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}=2a{x}_{1}$
聯立解得：F=0.1N，方向水平向左；
（3）前3s內通過電阻R的電量為：q₁=I△t，
撤去外力前，棒發生位移x過程中通過電阻R的電量為q₂，棒的速度為v₂，則q₂=q-q₁，
${q}_{2}=\frac{△Φ}{△t（R+r）}•△t$
△Φ=BLx，
${v}_{0}^{2}$-v₂²=2ax，
由能量守恒可得：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=2{Q}_{R}+μmg{x}_{2}$
聯立各式并帶入數據得：Q_R=0.25J．
答：（1）前3s內電路中感應電流的大小為0.5A，方向為a→b→P→M→a；
（2）ab棒向右運動且位移x₁=6.4m時的外力F大小為0.1N，方向水平向左；
（3）撤去外力F后電阻R上產生的熱量為0.25J．

點評 本題是電磁感應與電路、力學知識的綜合，關鍵要正確分析導體棒的受力情況和能量轉化的情況，熟練推導出安培力與速度的關系，感應電量與磁通量變化的關系，正確把握功和能的關系．